Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2017, 16:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 19:44
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, друзья - математики!
Помогите пожалуйста решить задачку.
Найти все значения параметра q, при которых ряд a) сходится абсолютно б) сходится условно

[math]\sum\limits_{1}^{inf}(\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) * \operatorname{arcctg} (n)^{q}[/math]

Заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2017, 16:30 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 19:44
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, друзья - математики!
Помогите пожалуйста решить задачку.
Найти все значения параметра q, при которых ряд a) сходится абсолютно б) сходится условно

[math]\sum\limits_{1}^{inf}(\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) * \operatorname{arcctg} (n)^{q}[/math]

Заранее спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 21 ноя 2017, 20:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тот же совет, что и в другой Вашей теме: получить удобную асимптотику.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2017, 12:31 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 май 2017, 15:13
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
57 раз в 57 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тут арктангенс возводится в степень [math]q[/math] или [math]n[/math] ?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2017, 23:33 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 19:44
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anonim228, в степень q

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 22 ноя 2017, 23:43 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 май 2017, 15:13
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
57 раз в 57 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
murza
Арктангенс возводится?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 23 ноя 2017, 20:42 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 окт 2017, 19:44
Сообщений: 12
Cпасибо сказано: 1
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Нет, n

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 24 ноя 2017, 20:33 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anonim228 писал(а):
Арктангенс возводится?

Там арккотангенс.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2017, 19:39 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
23 май 2017, 15:13
Сообщений: 187
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
57 раз в 57 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math](\sqrt{n + (-1)^{n}} - \sqrt{n}) \operatorname{arcctg} (n^{q})=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}}\operatorname{arcctg} (n^{q})[/math]

Рассмотрим ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}}[/math]. Он является знакопеременным, общий член стремится к [math]0[/math], последовательность модулей монотонно убывает, поэтому ряд сходится по признаку Лейбница. Последовательность [math]\operatorname{arcctg}(n^q)[/math] является монотонной и ограниченной при любом [math]q \ne 0[/math] (если [math]q=0[/math], [math]\operatorname{arcctg}(n^0)=\operatorname{arcctg}(1)=\frac{\pi}{4}[/math], тогда ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}}\frac{\pi}{4}[/math]сходится по признаку Лейбница), тогда исходный ряд сходится по признаку Абеля при [math]\forall q \in \mathbb{R}[/math].

Исследуем ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{(-1)^n}{\sqrt{n+(-1)^{n} } +\sqrt{n}} \operatorname{arcctg}(n^q)[/math] на абсолютную сходимость. Модуль общего члена - это [math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}}[/math]

Если [math]q<0[/math], то [math]{\operatorname{arcctg}(n^q)} \to \frac{\pi}{2}[/math] при [math]n \to \infty[/math], [math]\sqrt{n+(-1)^{n} }+\sqrt{n} \sim 2\sqrt{n}[/math] тогда

[math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}} \sim \frac{\pi}{4\sqrt{n}}[/math]. Отсюда видно, что исходный ряд не является абсолютно сходящимся при [math]q<0[/math]. При [math]q=0[/math], очевидно, результат такой же.



При [math]q>0 \ \operatorname{arcctg}(n^q) \sim \frac{1}{n^q}[/math] (это можно проверить по правилу Лопиталя, сосчитав предел), [math]\sqrt{n+(-1)^{n}} +\sqrt{n} \sim 2\sqrt{n}[/math] , тогда [math]\frac{\operatorname{arcctg}(n^q)}{\sqrt{n+(-1)^{n}}+\sqrt{n}} \sim \frac{1}{2n^{q+\frac{1}{2}}}[/math]. При [math]q>\frac{1}{2}[/math] исходный ряд абсолютно сходится, а при [math]0<q \leqslant \frac{1}{2}[/math] не является абсолютно сходящимся.

При [math]q>\frac{1}{2}[/math] исходный ряд сходится абсолютно, а при [math]q \leqslant \frac{1}{2}[/math] условно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Абсолютная/условная сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 25 ноя 2017, 20:00 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4080
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1803 раз в 1502 сообщениях
Очков репутации: 375

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
anonim228 писал(а):
[math]\operatorname{arcctg}(n^q) \sim \frac{1}{n^q}[/math] (это можно проверить по правилу Лопиталя, сосчитав предел)

[math]\operatorname{arcctg}x=\operatorname{arctg}\frac1x,\ x>0[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Абсолютная и условная сходимость ряда

в форуме Ряды

andrey1234

1

163

21 май 2015, 20:04

Сходимость ряда абсолютная и условная

в форуме Ряды

katka_kis

3

292

27 май 2014, 19:21

Абсолютная и условная сходимость ряда

в форуме Ряды

amennin

4

333

23 дек 2014, 21:20

Абсолютная и условная сходимость числового ряда

в форуме Ряды

mds

1

808

29 окт 2010, 21:19

Условная и Абсолютная сходимость знакопеременного ряда

в форуме Ряды

Wulran

10

209

11 дек 2017, 21:03

Абсолютная и условная сходимость

в форуме Ряды

Qller

8

222

17 май 2017, 12:27

Абсолютная и условная сходимость

в форуме Ряды

SonnyMoore

2

179

02 июн 2014, 07:14

Абсолютная и условная сходимость интеграла

в форуме Интегральное исчисление

Enosha

9

400

29 май 2014, 14:46

С параметром; условная и абсолютная сходимость

в форуме Ряды

delmel

2

237

11 дек 2013, 20:21

Абсолютная и условная сходимость рядов

в форуме Ряды

anstas_2017

8

175

18 апр 2018, 18:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 8


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2018 MathHelpPlanet.com. All rights reserved