Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
YarRainbow |
|
|
Краткая предыстория. Решаю по учебе различные задачки на с++. В одной из задач необходимо протабулировать функцию заданную рядом Тейлора. С задачей справился быстро, но загвоздка в том, что каждый член ряда легко представлялся с использованием обычного факториала. Например: [math]1 - \frac{ x^{3} }{ 3! } + \frac{ x^{5} }{ 5! } - \frac{ x^{7} }{ 7! }...[/math] Для оптимизации работы программы необходимо было используя рекуррентную формулу [math]C_{n+1} = C_{n} \times T[/math] вычислить множитель [math]T[/math] Путем нехитрых манипуляций [math]T =\frac{ C_{n+1} }{ C_{n} } = \frac{ x^{2(n+1)+1} }{ (2(n+1)+1)! } \,\colon \frac{ x^{2n+1} }{ (2n+1)! } = \frac{ x^{2} }{ (2n+2)(2n+3) }[/math] это легко высчитывалось. Пока я не решил другой вариант прорешать... Суть. Есть следующий ряд: [math]x - \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ x^{3} }{ 3 } + \frac{ 1 \cdot 3 }{ 2 \cdot 4 } \cdot \frac{ x^{5} }{ 5 } - \frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 }{ 2 \cdot 4 \cdot 6 } \cdot \frac{ x^{7} }{ 7 } + ...[/math] Необходимо используя рекуррентную формулу [math]C_{n+1} = C_{n} \times T[/math] вычислить множитель [math]T[/math] Нечетный факториал в числителе и четный в знаменателе члена ряда я углядел, но как это правильно записать и уж тем более упростить, я так и не сообразил самостоятельно. Пробовал так: [math]T = \frac{ C_{n+1} }{ C_{n}} = \left( \frac{ (2n-1)!! }{ (2n)!!} \cdot \frac{ x^{2n+1} }{ 2n+1 } \right) \div \left( \frac{ (2(n+1)-1)!! }{ (2(n+1))!!} \cdot \frac{ x^{2(n+1)+1} }{ 2(n+1)+1 } \right)[/math] (1) Затем я раскрыл двойные факториалы по формулам с вики. Например нечетный [math](2n-1)!! = \frac{ (2n-1)! }{ 2^{\frac{ (2n-1)-1 }{ 2 } } \cdot \left( \frac{ (2n-1)-1 }{ 2 } \right) !}[/math] (2) или четный [math](2n)!! = 2^{\frac{ 2n }{ 2 }} \cdot \left( \frac{ 2n }{ 2 } \right)![/math] (3) И подставил это всё выше в (1). В итоге, исписав пару А4, я получил неправильный ответ в виде [math]T = \frac{ x^{2}(2n+1)^{2} }{ 4n^{3} + 8n^{2} + 3n }[/math] Буду очень признателен, если кто-нибудь направит меня в нужное русло и вообще подскажет, что я не так сделал. >_< |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Зачем понадобились формулы для двойных факториалов???
И так ясно, что рекуррентная формула следующая: [math]T_n=\frac{ -(2n-3)^2x^2 }{ (2n-2)(2n-1) },n>1[/math], где [math]C_1=x,C_n=C_{n-1} \cdot T_n[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: YarRainbow |
||
YarRainbow |
|
|
Спасибо большое за ответ. Но очень хотелось бы всё-таки понять, откуда взялось это "И так ясно"? х)
Ведь есть некоторый алгоритм, по которому можно найти этот множитель. Не по наитию же. UPD. Всё, тема закрыта, кажется, до меня доперло. А еще я дурак, с чего-то пытался по привычке нумеровать элементы начиная с нулевого, так как это работало с другим рядом (Пробил сейчас себе рукой лицо) Спасибо большое. |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Можно было просто воспользоваться рекуррентными формулами для этих двойных факториалов: [math](2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)!![/math] и [math](2n+2)!!=(2n+2)(2n)!![/math], тогда почти все просто сокращалось и по Вашей формуле (которую Вы почему-то перевернули)
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: YarRainbow |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Рекуррентная формула ряда
в форуме Ряды |
6 |
341 |
23 дек 2018, 20:09 |
|
Формула общего члена ряда (ряд Тейлора)
в форуме Ряды |
1 |
478 |
18 окт 2017, 22:51 |
|
Рекуррентная формула | 3 |
804 |
27 дек 2017, 23:31 |
|
Найти интеграл. Рекуррентная формула
в форуме Интегральное исчисление |
4 |
165 |
24 дек 2020, 11:40 |
|
Найти сумму ряда с факториалом
в форуме Ряды |
3 |
2049 |
28 фев 2018, 18:53 |
|
Формула Тейлора
в форуме Дифференциальное исчисление |
2 |
273 |
10 дек 2017, 08:47 |
|
Формула Тейлора
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
2 |
97 |
12 янв 2024, 00:26 |
|
Формула Тейлора
в форуме Дифференциальное исчисление |
1 |
240 |
13 ноя 2017, 04:08 |
|
Формула Тейлора. | 10 |
590 |
03 дек 2020, 14:09 |
|
Формула Тейлора
в форуме Ряды |
4 |
369 |
18 май 2014, 17:22 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |