Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Рекуррентная формула с двойным факториалом для ряда Тейлора
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2017, 13:25 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 ноя 2017, 09:46
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток. Прощу заранее извинить, если накосячил с разделом, оформлением или формулировками.

Краткая предыстория.

Решаю по учебе различные задачки на с++. В одной из задач необходимо протабулировать функцию заданную рядом Тейлора. С задачей справился быстро, но загвоздка в том, что каждый член ряда легко представлялся с использованием обычного факториала.
Например:
[math]1 - \frac{ x^{3} }{ 3! } + \frac{ x^{5} }{ 5! } - \frac{ x^{7} }{ 7! }...[/math]
Для оптимизации работы программы необходимо было используя рекуррентную формулу [math]C_{n+1} = C_{n} \times T[/math] вычислить множитель [math]T[/math]
Путем нехитрых манипуляций
[math]T =\frac{ C_{n+1} }{ C_{n} } = \frac{ x^{2(n+1)+1} }{ (2(n+1)+1)! } \,\colon \frac{ x^{2n+1} }{ (2n+1)! } = \frac{ x^{2} }{ (2n+2)(2n+3) }[/math]
это легко высчитывалось. Пока я не решил другой вариант прорешать...

Суть.

Есть следующий ряд:
[math]x - \frac{ 1 }{ 2 } \cdot \frac{ x^{3} }{ 3 } + \frac{ 1 \cdot 3 }{ 2 \cdot 4 } \cdot \frac{ x^{5} }{ 5 } - \frac{ 1 \cdot 3 \cdot 5 }{ 2 \cdot 4 \cdot 6 } \cdot \frac{ x^{7} }{ 7 } + ...[/math]
Необходимо используя рекуррентную формулу [math]C_{n+1} = C_{n} \times T[/math] вычислить множитель [math]T[/math]

Нечетный факториал в числителе и четный в знаменателе члена ряда я углядел, но как это правильно записать и уж тем более упростить, я так и не сообразил самостоятельно.
Пробовал так:
[math]T = \frac{ C_{n+1} }{ C_{n}} = \left( \frac{ (2n-1)!! }{ (2n)!!} \cdot \frac{ x^{2n+1} }{ 2n+1 } \right) \div \left( \frac{ (2(n+1)-1)!! }{ (2(n+1))!!} \cdot \frac{ x^{2(n+1)+1} }{ 2(n+1)+1 } \right)[/math] (1)
Затем я раскрыл двойные факториалы по формулам с вики.

Например нечетный
[math](2n-1)!! = \frac{ (2n-1)! }{ 2^{\frac{ (2n-1)-1 }{ 2 } } \cdot \left( \frac{ (2n-1)-1 }{ 2 } \right) !}[/math] (2)
или четный
[math](2n)!! = 2^{\frac{ 2n }{ 2 }} \cdot \left( \frac{ 2n }{ 2 } \right)![/math] (3)
И подставил это всё выше в (1). В итоге, исписав пару А4, я получил неправильный ответ в виде [math]T = \frac{ x^{2}(2n+1)^{2} }{ 4n^{3} + 8n^{2} + 3n }[/math]

Буду очень признателен, если кто-нибудь направит меня в нужное русло и вообще подскажет, что я не так сделал. >_<

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рекуррентная формула с двойным факториалом для ряда Тейлора
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2017, 13:51 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Зачем понадобились формулы для двойных факториалов???
И так ясно, что рекуррентная формула следующая: [math]T_n=\frac{ -(2n-3)^2x^2 }{ (2n-2)(2n-1) },n>1[/math], где [math]C_1=x,C_n=C_{n-1} \cdot T_n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
YarRainbow
 Заголовок сообщения: Re: Рекуррентная формула с двойным факториалом для ряда Тейлора
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2017, 16:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
20 ноя 2017, 09:46
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 3
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо большое за ответ. Но очень хотелось бы всё-таки понять, откуда взялось это "И так ясно"? х)
Ведь есть некоторый алгоритм, по которому можно найти этот множитель. Не по наитию же. :)

UPD. Всё, тема закрыта, кажется, до меня доперло. А еще я дурак, с чего-то пытался по привычке нумеровать элементы начиная с нулевого, так как это работало с другим рядом (Пробил сейчас себе рукой лицо)
Спасибо большое.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Рекуррентная формула с двойным факториалом для ряда Тейлора
СообщениеДобавлено: 20 ноя 2017, 16:12 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7567
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2751 раз в 2539 сообщениях
Очков репутации: 473

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно было просто воспользоваться рекуррентными формулами для этих двойных факториалов: [math](2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)!![/math] и [math](2n+2)!!=(2n+2)(2n)!![/math], тогда почти все просто сокращалось и по Вашей формуле (которую Вы почему-то перевернули)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
YarRainbow
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Рекуррентная формула ряда

в форуме Ряды

Dizzy12

6

341

23 дек 2018, 20:09

Формула общего члена ряда (ряд Тейлора)

в форуме Ряды

Tuxedomask

1

478

18 окт 2017, 22:51

Рекуррентная формула

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

sergebsl

3

804

27 дек 2017, 23:31

Найти интеграл. Рекуррентная формула

в форуме Интегральное исчисление

dimalom123

4

165

24 дек 2020, 11:40

Найти сумму ряда с факториалом

в форуме Ряды

an2ancan

3

2049

28 фев 2018, 18:53

Формула Тейлора

в форуме Дифференциальное исчисление

Finn_parnichka

2

273

10 дек 2017, 08:47

Формула Тейлора

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

S19

2

97

12 янв 2024, 00:26

Формула Тейлора

в форуме Дифференциальное исчисление

Strider

1

240

13 ноя 2017, 04:08

Формула Тейлора.

в форуме Задачи со школьных и студенческих олимпиад

Alexandrietz

10

590

03 дек 2020, 14:09

Формула Тейлора

в форуме Ряды

RikkiTan1

4

369

18 май 2014, 17:22


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved