Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
Область сходимости ряда. http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=55999 |
Страница 1 из 2 |
Автор: | Teratore [ 08 окт 2017, 22:07 ] |
Заголовок сообщения: | Область сходимости ряда. |
Добрый вечер! Есть ряд [math]\frac{ -1^{n} }{ (x+n)^{3} }[/math] Необходимо найти область сходимости. 1. [math]\lim_{n \to infinity}|\frac {1}{(x+n)^{3} }| =0[/math] 2. Последовательность [math]\frac{ 1 }{ x+n }[/math] бесконечно малая и монотонно убывающая. =>ряд Лейбница и ряд сходится для любого x. Сравнив абсолютное значение с рядом Дирихле, получу что последовательность сходится абсолютно. Все ведь так, верно? |
Автор: | Avgust [ 09 окт 2017, 00:04 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
Да, но при отрицательных целых [math]x[/math] соответствующий член ряда будет иметь деление на ноль. Это же придется учесть. |
Автор: | Teratore [ 09 окт 2017, 11:19 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
Avgust писал(а): соответствующий член ряда будет иметь деление на ноль Так вот в чем была проблема. Этот момент я действительно не учел. Avgust писал(а): Это же придется учесть. А каким конкретно образом? Написать что при x=-1 суммы соответствующего числового ряда не существует ввиду деления на ноль, и таким образом ряд сходится абсолютно для любых чисел в промежутке от [math](-\infty ; -1) \cup [0;+ \infty][/math]? (исходный ряд от n=1 до беск.) |
Автор: | Avgust [ 09 окт 2017, 11:29 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
Так не только [math]x=-1[/math]. При [math]x=-2[/math] второй член ряда будет обнулен. А при [math]x=-3[/math] и третий ... Вообще при любом целом отрицательном иксе в пределах от [math]-1[/math] до [math]-n[/math] будет расхождение ряда. |
Автор: | Teratore [ 09 окт 2017, 11:37 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
Avgust писал(а): Так не только x=−1 x=−1 . При x=−2 x=−2 второй член ряда будет обнулен. А при x=−3 x=−3 и третий ... Вообще при любом целом отрицательном иксе в пределах от −1 −1 до −n −n будет расхождение ряда. Упс. Да, понял о чем вы. А каким образом оформить данную ситуацию? |
Автор: | Andy [ 09 окт 2017, 12:11 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
[math]-x \notin \mathbb{N}[/math] |
Автор: | Teratore [ 09 окт 2017, 13:05 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
Andy писал(а): −x∉N [math]x \in (- \infty ; + \infty )[/math] \ {[math]{-x \in N}[/math] } так можно записать ответ?? А как обосновать? Или просто написать, что при -x [math]\in N[/math] значение неопределенно? P.S. За ранее извиняюсь за очевидные вопросы. С подобным примером сталкнулся впервые, остальные все простые и шаблонные. |
Автор: | Andy [ 09 окт 2017, 13:18 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
Teratore Я думаю, что ответ можно записать так: [math]X=\left\{ x \,\colon x \in \mathbb{R} \land x \ne -n,~n \in \mathbb{N} \right\}.[/math] Наверное, можно и так, как записали его Вы. Обоснование было дано в ходе обсуждения. Или Вы не понимаете, почему [math]x \ne -n[/math]? Ведь понимаете же. |
Автор: | Andy [ 09 окт 2017, 13:21 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
Avgust писал(а): Так не только [math]x=-1[/math]. При [math]x=-2[/math] второй член ряда будет обнулен. А при [math]x=-3[/math] и третий ... Вообще при любом целом отрицательном иксе в пределах от [math]-1[/math] до [math]-n[/math] будет расхождение ряда. Соответствующие члены ряда будут не "обнулены", а принимают неопределённые значения, вызванные запретом деления на нуль, как я понимаю. |
Автор: | Teratore [ 09 окт 2017, 13:28 ] |
Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости ряда. |
Andy писал(а): Вы не понимаете, Понимаю. Однако обосновать это письменно как-то нужно. Andy писал(а): вызванные запретом деления на нуль, как я понимаю. А вот здесь я не знаю, есть он здесь или нет. Всё-таки задание вузовское, возможно запрета и нет как такового. |
Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |