Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Область сходимости ряда.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=55999
Страница 1 из 2

Автор:  Teratore [ 08 окт 2017, 22:07 ]
Заголовок сообщения:  Область сходимости ряда.

Добрый вечер!
Есть ряд
[math]\frac{ -1^{n} }{ (x+n)^{3} }[/math]

Необходимо найти область сходимости.
1. [math]\lim_{n \to infinity}|\frac {1}{(x+n)^{3} }| =0[/math]
2. Последовательность [math]\frac{ 1 }{ x+n }[/math] бесконечно малая и монотонно убывающая.
=>ряд Лейбница и ряд сходится для любого x.
Сравнив абсолютное значение с рядом Дирихле, получу что последовательность сходится абсолютно.

Все ведь так, верно?

Автор:  Avgust [ 09 окт 2017, 00:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

Да, но при отрицательных целых [math]x[/math] соответствующий член ряда будет иметь деление на ноль. Это же придется учесть.

Автор:  Teratore [ 09 окт 2017, 11:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

Avgust писал(а):
соответствующий член ряда будет иметь деление на ноль

Так вот в чем была проблема. Этот момент я действительно не учел.
Avgust писал(а):
Это же придется учесть.

А каким конкретно образом? Написать что при x=-1 суммы соответствующего числового ряда не существует ввиду деления на ноль, и таким образом ряд сходится абсолютно для любых чисел в промежутке от [math](-\infty ; -1) \cup [0;+ \infty][/math]?
(исходный ряд от n=1 до беск.)

Автор:  Avgust [ 09 окт 2017, 11:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

Так не только [math]x=-1[/math]. При [math]x=-2[/math] второй член ряда будет обнулен. А при [math]x=-3[/math] и третий ... Вообще при любом целом отрицательном иксе в пределах от [math]-1[/math] до [math]-n[/math] будет расхождение ряда.

Автор:  Teratore [ 09 окт 2017, 11:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

Avgust писал(а):
Так не только x=−1
x=−1
. При x=−2
x=−2
второй член ряда будет обнулен. А при x=−3
x=−3
и третий ... Вообще при любом целом отрицательном иксе в пределах от −1
−1
до −n
−n
будет расхождение ряда.


Упс. Да, понял о чем вы. А каким образом оформить данную ситуацию?

Автор:  Andy [ 09 окт 2017, 12:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

[math]-x \notin \mathbb{N}[/math]

Автор:  Teratore [ 09 окт 2017, 13:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

Andy писал(а):
−x∉N


[math]x \in (- \infty ; + \infty )[/math] \ {[math]{-x \in N}[/math] }
так можно записать ответ??

А как обосновать? Или просто написать, что при -x [math]\in N[/math] значение неопределенно?

P.S.
За ранее извиняюсь за очевидные вопросы. С подобным примером сталкнулся впервые, остальные все простые и шаблонные.

Автор:  Andy [ 09 окт 2017, 13:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

Teratore
Я думаю, что ответ можно записать так: [math]X=\left\{ x \,\colon x \in \mathbb{R} \land x \ne -n,~n \in \mathbb{N} \right\}.[/math] Наверное, можно и так, как записали его Вы.

Обоснование было дано в ходе обсуждения. Или Вы не понимаете, почему [math]x \ne -n[/math]? Ведь понимаете же.

Автор:  Andy [ 09 окт 2017, 13:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

Avgust писал(а):
Так не только [math]x=-1[/math]. При [math]x=-2[/math] второй член ряда будет обнулен. А при [math]x=-3[/math] и третий ... Вообще при любом целом отрицательном иксе в пределах от [math]-1[/math] до [math]-n[/math] будет расхождение ряда.

Соответствующие члены ряда будут не "обнулены", а принимают неопределённые значения, вызванные запретом деления на нуль, как я понимаю.

Автор:  Teratore [ 09 окт 2017, 13:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости ряда.

Andy писал(а):
Вы не понимаете,

Понимаю. Однако обосновать это письменно как-то нужно.
Andy писал(а):
вызванные запретом деления на нуль, как я понимаю.

А вот здесь я не знаю, есть он здесь или нет. Всё-таки задание вузовское, возможно запрета и нет как такового.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/