Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 30 сен 2017, 20:54 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 22:20
Сообщений: 150
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum\limits_{1}^{ \infty }(-1)^n \frac{ sin( n+1) }{ x^n+ln(n+1) }[/math]
не могу исследовать на сходимость. смущает плюс в знаменателе между слагаемыми

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 30 сен 2017, 22:40 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Разрыв первого рода при [math]x=-\ln(2)[/math]
И еще есть малая область - примерно x от (-1.122) до (-1) - наблюдается чехарда от минус беск. до + беск.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 30 сен 2017, 23:18 
Не в сети
Одарённый
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 мар 2016, 22:20
Сообщений: 150
Откуда: Казань
Cпасибо сказано: 7
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
да , я тоже интуитивно понял,что ряд ведет себя не просто. но у этого ряда нужно найти область сходимости. и плюс между слагаемыми стоит точно. я переспрашивал у препода.
как найти радиус сходимости такого ряда?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 01 окт 2017, 00:47 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да сходится при всех иксах, кроме мной указанных. Я смог выводы сделать только на основании численных расчетов. Функция настолько сложная, что моих знаний не хватает чисто теоретически анализировать. Надеюсь, тут профессионалы помогут.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 01 окт 2017, 15:39 
Не в сети
Beautiful Mind
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
20 фев 2011, 00:53
Сообщений: 1804
Откуда: Алексин
Cпасибо сказано: 273
Спасибо получено:
942 раз в 738 сообщениях
Очков репутации: 221

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При [math]\left| x \right|> 1[/math] сходится абсолютно, т.к. [math]\left| {{{\left( { - 1} \right)}^n}\frac{{\sin \left( {n + 1} \right)}}{{{x^n} + \ln \left( {n + 1} \right)}}} \right| < \frac{1}{{{{\left| x \right|}^n}}}[/math]
При [math]\left|x \right| \le 1[/math] условно сходится???

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 01 окт 2017, 17:24 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 269
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
90 раз в 86 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сначала небольшое замечание, что [math]x \ne -\left( \ln(2m) \right) ^{\frac{1}{2m-1} }[/math] для любого [math]m \in \mathbb{N}[/math].

[math](-1)^n \frac{\sin( n+1) }{ x^n+\ln(n+1) } = (-1)^n\frac{\sin( n+1) }{\ln(n+1)} + r_n(x)[/math], где [math]r_n(x) = (-1)^{n+1}\frac{\sin( n+1) }{\ln(n+1) \cdot ( x^n+\ln(n+1) )}x^n[/math].

Если [math]\left| x \right| < 1[/math], то [math]\left| r_n(x) \right| < \left| x \right|^n[/math], ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{+\infty} r_n(x)[/math] сходится абсолютно по признаку сравнения.

[math]\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^n\frac{\sin( n+1) }{\ln(n+1)}[/math] сходится по признаку Дирихле, так как [math]\left| \sum\limits_{n=1}^{N} (-1)^n \sin( n+1)\right| \leqslant A[/math], а [math]\frac{1}{\ln(n+1)}[/math] монотонно сходится к нулю. Сходимость условная, иначе сходился бы ряд с общим членом [math]\frac{ (\sin( n+1))^2 }{\ln(n+1)} = \frac{1}{2 \ln(n+1)} - \frac{\cos( 2n+2) }{2\ln(n+1)}[/math], а также с общим членом [math]\frac{1}{2 \ln(n+1)}
= \frac{ (\sin( n+1))^2 }{\ln(n+1)} + \frac{\cos( 2n+2) }{2\ln(n+1)}[/math]
, что неверно.

Таким образом, при [math]\left| x \right| < 1[/math] ряд сходится условно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
erjoma
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 02 окт 2017, 01:20 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 10016
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3070 раз в 2673 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Удалось построить график в Maple

Изображение

evalf можно не писать.
Никаких условностей не видно :cry:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 02 окт 2017, 23:46 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 269
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
90 раз в 86 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
Никаких условностей не видно

И правильно, ведь ряд расходится в указанных мной точках. А точнее, просто не определен.

Space писал(а):
Сначала небольшое замечание, что [math]x \ne -\left( \ln(2m) \right) ^{\frac{1}{2m-1} }[/math] для любого [math]m \in \mathbb{N}[/math].

В этих точках знаменатель одного из членов ряда обращается в [math]0[/math].

[math]-\left( \ln(2m) \right) ^{\frac{1}{2m-1} } \longrightarrow -1[/math], так что около [math]-1[/math] и должно твориться то, что происходит на графике.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
Avgust
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость ряда

в форуме Ряды

salik

4

240

18 дек 2012, 00:00

Сходимость ряда

в форуме Ряды

ExtreMaLLlka

1

62

03 май 2017, 00:19

Сходимость ряда

в форуме Ряды

margo1992

16

411

27 май 2014, 15:55

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Dasha138

2

134

05 июн 2015, 09:59

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Logan

12

624

01 сен 2013, 16:14

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Merhaba

4

199

28 май 2014, 17:03

Сходимость ряда

в форуме Ряды

nubsdale

6

290

28 дек 2013, 01:26

Сходимость ряда

в форуме Ряды

margo1992

1

158

28 май 2014, 21:52

Сходимость ряда

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

foxis

6

147

06 фев 2016, 10:10

Сходимость ряда

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

magicmagic

1

104

19 май 2015, 00:48


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 7


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved