Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма ряда
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 14:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 сен 2017, 13:51
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уже пару дней решаю одну задачку и никак не могу закончить её.
f(x) = [math]\sum\limits_{n = 1}^{ \infty }[/math] [math]\left( - 1 \right)^{n}[/math] [math]\cdot[/math] n [math]\cdot[/math] [math]x^{n - 1}[/math]
Необходимо вычислить сумму ряда для различных x с заданной точностью (оценивая остаток, а не последующий член ряда). Похожие задачи уже решал, с программированием проблем не будет.
То, что ряд является сходящимся при x из (-1, 1) установил. Вижу, что можно легко оценить при x > 0, т.к. ряд в таком случае знакочередующийся, но нужна именно общая оценка (и при x < 0).
Вижу, что ряд похож на разложение по Маклорену. Но как мне оценить в таком случае остаточный член? Был бы очень благодарен, если бы кто-то помог с решением / поделился мыслями. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 16:14 
В сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 12:21
Сообщений: 7566
Cпасибо сказано: 229
Спасибо получено:
2748 раз в 2536 сообщениях
Очков репутации: 472

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точное значение этой суммы с бесконечным числом слагаемых для [math]x \in (-1;1)[/math] равно [math]f(x)=\frac{ -1 }{ (1+x)^2 }[/math]. Нетрудно подсчитать и сумму с конечным заданным числом слагаемых и оценить точность приближения. При других значениях переменной х постановка задачи теряет смысл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
ivan_usb
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 16:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 сен 2017, 13:51
Сообщений: 4
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
Большое спасибо! Но думаю, что от меня хотят именно каким-либо образом оценить остаток. В любом случае большое спасибо, буду думать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 17:50 
Не в сети
Гений
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 12:28
Сообщений: 594
Cпасибо сказано: 72
Спасибо получено:
186 раз в 172 сообщениях
Очков репутации: 37

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Частичная сумма ряда [math]S_n= \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k k x^{k-1}= \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{k+1}(k+1)x^k[/math].

Сумма ряда [math]f(x) = \frac{-1}{(1+x)^2} = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k+1}(k+1)x^k = \lim_{n \to +\infty} S_n[/math] при [math]x \in (-1,1)[/math].

Остаток в форме Лагранжа [math]r_n = f(x) - S_n = \frac{f^{(n+1)}( \theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}[/math], где [math]0< \theta <1[/math].

Производная [math]f^{(n)} = \frac{(-1)^{n+1} (n+1)!}{(1+x)^{n+2}}[/math].

[math]\left| r_n \right| = \left| \frac{f^{(n+1)}( \theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \right| = \left| \frac{(-1)^{n+2}(n+2)!}{(1+\theta x)^{n+3}(n+1)!} x^{n+1} \right| = \left| \frac{n+2}{(1+\theta x)^{n+3}} x^{n+1} \right|[/math]

При [math]x>0[/math]:
[math]\left| r_n \right| < (n+2) x^{n+1}[/math]

При [math]x<0[/math]:
[math]\left| r_n \right| < \frac{n+2}{(1-\left| x \right| )^{n+3}} \left| x \right| ^{n+1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
ivan_usb
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 4 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Частичная сумма ряда и сумма ряда

в форуме Ряды

Ilya Sokolov

7

344

14 окт 2020, 16:00

Сумма ряда, общий член ряда

в форуме Ряды

Denis_21

1

257

06 дек 2019, 19:16

Сумма ряда , сумма рядов , поиск суммы рядов , математически

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ioan

6

424

30 янв 2022, 19:06

Сумма ряда

в форуме Ряды

kit

3

246

27 ноя 2018, 19:02

Сумма ряда

в форуме Ряды

tanyhaftv

3

246

17 окт 2018, 19:39

Сумма ряда

в форуме Ряды

Porvator

3

475

07 окт 2014, 21:49

Сумма ряда

в форуме Ряды

anna2019

6

330

13 апр 2019, 22:53

Сумма ряда

в форуме Ряды

jane95

1

183

14 апр 2019, 15:14

Сумма ряда

в форуме Ряды

dakulov

4

564

20 июн 2015, 10:13

Сумма ряда

в форуме Ряды

351w

3

256

04 июн 2019, 11:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 20


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved