Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 4 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
ivan_usb |
|
|
f(x) = [math]\sum\limits_{n = 1}^{ \infty }[/math] [math]\left( - 1 \right)^{n}[/math] [math]\cdot[/math] n [math]\cdot[/math] [math]x^{n - 1}[/math] Необходимо вычислить сумму ряда для различных x с заданной точностью (оценивая остаток, а не последующий член ряда). Похожие задачи уже решал, с программированием проблем не будет. То, что ряд является сходящимся при x из (-1, 1) установил. Вижу, что можно легко оценить при x > 0, т.к. ряд в таком случае знакочередующийся, но нужна именно общая оценка (и при x < 0). Вижу, что ряд похож на разложение по Маклорену. Но как мне оценить в таком случае остаточный член? Был бы очень благодарен, если бы кто-то помог с решением / поделился мыслями. Спасибо! |
||
Вернуться к началу | ||
michel |
|
|
Точное значение этой суммы с бесконечным числом слагаемых для [math]x \in (-1;1)[/math] равно [math]f(x)=\frac{ -1 }{ (1+x)^2 }[/math]. Нетрудно подсчитать и сумму с конечным заданным числом слагаемых и оценить точность приближения. При других значениях переменной х постановка задачи теряет смысл.
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали: ivan_usb |
||
ivan_usb |
|
|
michel
Большое спасибо! Но думаю, что от меня хотят именно каким-либо образом оценить остаток. В любом случае большое спасибо, буду думать. |
||
Вернуться к началу | ||
Space |
|
|
Частичная сумма ряда [math]S_n= \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k k x^{k-1}= \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{k+1}(k+1)x^k[/math].
Сумма ряда [math]f(x) = \frac{-1}{(1+x)^2} = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k+1}(k+1)x^k = \lim_{n \to +\infty} S_n[/math] при [math]x \in (-1,1)[/math]. Остаток в форме Лагранжа [math]r_n = f(x) - S_n = \frac{f^{(n+1)}( \theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}[/math], где [math]0< \theta <1[/math]. Производная [math]f^{(n)} = \frac{(-1)^{n+1} (n+1)!}{(1+x)^{n+2}}[/math]. [math]\left| r_n \right| = \left| \frac{f^{(n+1)}( \theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \right| = \left| \frac{(-1)^{n+2}(n+2)!}{(1+\theta x)^{n+3}(n+1)!} x^{n+1} \right| = \left| \frac{n+2}{(1+\theta x)^{n+3}} x^{n+1} \right|[/math] При [math]x>0[/math]: [math]\left| r_n \right| < (n+2) x^{n+1}[/math] При [math]x<0[/math]: [math]\left| r_n \right| < \frac{n+2}{(1-\left| x \right| )^{n+3}} \left| x \right| ^{n+1}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали: ivan_usb |
||
[ Сообщений: 4 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Частичная сумма ряда и сумма ряда
в форуме Ряды |
7 |
344 |
14 окт 2020, 16:00 |
|
Сумма ряда, общий член ряда
в форуме Ряды |
1 |
257 |
06 дек 2019, 19:16 |
|
Сумма ряда , сумма рядов , поиск суммы рядов , математически
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
6 |
424 |
30 янв 2022, 19:06 |
|
Сумма ряда
в форуме Ряды |
3 |
246 |
27 ноя 2018, 19:02 |
|
Сумма ряда
в форуме Ряды |
3 |
246 |
17 окт 2018, 19:39 |
|
Сумма ряда
в форуме Ряды |
3 |
475 |
07 окт 2014, 21:49 |
|
Сумма ряда
в форуме Ряды |
6 |
330 |
13 апр 2019, 22:53 |
|
Сумма ряда
в форуме Ряды |
1 |
183 |
14 апр 2019, 15:14 |
|
Сумма ряда
в форуме Ряды |
4 |
564 |
20 июн 2015, 10:13 |
|
Сумма ряда
в форуме Ряды |
3 |
256 |
04 июн 2019, 11:14 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |