Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма ряда
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 15:12 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 сен 2017, 14:51
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток, уже пару дней решаю одну задачку и никак не могу закончить её.
f(x) = [math]\sum\limits_{n = 1}^{ \infty }[/math] [math]\left( - 1 \right)^{n}[/math] [math]\cdot[/math] n [math]\cdot[/math] [math]x^{n - 1}[/math]
Необходимо вычислить сумму ряда для различных x с заданной точностью (оценивая остаток, а не последующий член ряда). Похожие задачи уже решал, с программированием проблем не будет.
То, что ряд является сходящимся при x из (-1, 1) установил. Вижу, что можно легко оценить при x > 0, т.к. ряд в таком случае знакочередующийся, но нужна именно общая оценка (и при x < 0).
Вижу, что ряд похож на разложение по Маклорену. Но как мне оценить в таком случае остаточный член? Был бы очень благодарен, если бы кто-то помог с решением / поделился мыслями. Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 17:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
08 апр 2015, 13:21
Сообщений: 1621
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
581 раз в 541 сообщениях
Очков репутации: 81

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Точное значение этой суммы с бесконечным числом слагаемых для [math]x \in (-1;1)[/math] равно [math]f(x)=\frac{ -1 }{ (1+x)^2 }[/math]. Нетрудно подсчитать и сумму с конечным заданным числом слагаемых и оценить точность приближения. При других значениях переменной х постановка задачи теряет смысл.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю michel "Спасибо" сказали:
ivan_usb
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 17:54 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
17 сен 2017, 14:51
Сообщений: 2
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
michel
Большое спасибо! Но думаю, что от меня хотят именно каким-либо образом оценить остаток. В любом случае большое спасибо, буду думать.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма ряда
СообщениеДобавлено: 17 сен 2017, 18:50 
Не в сети
Профи
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 322
Cпасибо сказано: 34
Спасибо получено:
109 раз в 104 сообщениях
Очков репутации: 22

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Частичная сумма ряда [math]S_n= \sum\limits_{k=1}^{n} (-1)^k k x^{k-1}= \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^{k+1}(k+1)x^k[/math].

Сумма ряда [math]f(x) = \frac{-1}{(1+x)^2} = \sum\limits_{k=0}^{+\infty} (-1)^{k+1}(k+1)x^k = \lim_{n \to +\infty} S_n[/math] при [math]x \in (-1,1)[/math].

Остаток в форме Лагранжа [math]r_n = f(x) - S_n = \frac{f^{(n+1)}( \theta x)}{(n+1)!}x^{n+1}[/math], где [math]0< \theta <1[/math].

Производная [math]f^{(n)} = \frac{(-1)^{n+1} (n+1)!}{(1+x)^{n+2}}[/math].

[math]\left| r_n \right| = \left| \frac{f^{(n+1)}( \theta x)}{(n+1)!}x^{n+1} \right| = \left| \frac{(-1)^{n+2}(n+2)!}{(1+\theta x)^{n+3}(n+1)!} x^{n+1} \right| = \left| \frac{n+2}{(1+\theta x)^{n+3}} x^{n+1} \right|[/math]

При [math]x>0[/math]:
[math]\left| r_n \right| < (n+2) x^{n+1}[/math]

При [math]x<0[/math]:
[math]\left| r_n \right| < \frac{n+2}{(1-\left| x \right| )^{n+3}} \left| x \right| ^{n+1}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Space "Спасибо" сказали:
ivan_usb
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сумма ряда

в форуме Ряды

Jedi

4

346

08 июн 2013, 19:40

Сумма ряда

в форуме Ряды

Avgust

1

195

22 июн 2012, 02:47

Сумма ряда

в форуме Ряды

Perzh

0

211

17 янв 2013, 22:23

Сумма ряда

в форуме Ряды

glover

11

388

27 авг 2015, 20:27

Сумма ряда

в форуме Ряды

H0las

2

193

25 сен 2015, 20:45

Сумма ряда

в форуме Ряды

dj184

7

413

24 янв 2013, 16:41

Сумма ряда

в форуме Ряды

Katarina_

8

268

04 апр 2014, 00:06

Сумма ряда

в форуме Ряды

ExtreMaLLlka

4

103

23 сен 2017, 16:39

Сумма ряда

в форуме Ряды

zds

3

275

01 май 2013, 17:49

Сумма ряда

в форуме Ряды

kutda

1

228

20 июн 2013, 18:42


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot], Student Studentovich и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved