Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Экспоненциальный ряд
СообщениеДобавлено: 21 авг 2017, 22:54 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 12:57
Сообщений: 339
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, ребята.
Появился такой вопрос. В квантовой статистике можно встретить такой ряд:
[math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n*e^{- \beta n}[/math]
Данный ряд сходится, а сумму можно вычислят представив как:[math]-\frac{d }{d \beta } \sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{- \beta n}[/math], а внутри производной геометрический ряд. Но этот трюк не общий. Когда нету никакого параметра [math]\beta[/math], как можно вычислят сумму ряда (т.е [math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n*e^{- n}[/math])? Есть какой нибудь математический подход?
Спасибо!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальный ряд
СообщениеДобавлено: 21 авг 2017, 23:10 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 дек 2016, 04:01
Сообщений: 335
Откуда: Минск, Беларусь
Cпасибо сказано: 10
Спасибо получено:
83 раз в 82 сообщениях
Очков репутации: 19

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если [math]f\left( \beta \right) = - \frac{d }{d \beta } \sum\limits_{n=0}^{\infty}e^{- \beta n}[/math], то [math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}n*e^{- n}=f\left( 1 \right)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю _Sasha_ "Спасибо" сказали:
mozhik
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальный ряд
СообщениеДобавлено: 21 авг 2017, 23:22 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 12:57
Сообщений: 339
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
_Sasha_
Это же тот же самый трюк, я имел ввиду не прицепляясь к этому трюку, можно как нибудь по другому вычилить сумму?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальный ряд
СообщениеДобавлено: 22 авг 2017, 00:32 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9997
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Можно численно получить 0.92067359420779231898
а потом занести это число в Вольфрам
http://www.wolframalpha.com/input/?i=.9206735942077923189
И он выдаст результат точный
[math]\frac{e}{(e-1)^2}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальный ряд
СообщениеДобавлено: 22 авг 2017, 00:51 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 12:57
Сообщений: 339
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust
Вольфрам конечно хорошо, но хотелось бы увидеть какой нибудь математический подход, хотя бы какую нибудь технику из приближенного вычисления.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальный ряд
СообщениеДобавлено: 22 авг 2017, 02:09 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 20:13
Сообщений: 9997
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 916
Спасибо получено:
3067 раз в 2670 сообщениях
Очков репутации: 617

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ну, если приближенная техника, то на калькуляторе сумму с нужной точностью. Я приближенный результат дал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальный ряд
СообщениеДобавлено: 22 авг 2017, 17:35 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum_{n=0}^{\infty}ne^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^ne^{-n}=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{n=k}^{\infty}e^{-n}=\frac1{1-e^{-1}}\sum_{k=1}^{\infty}e^{-k}=\frac{e^{-1}}{(1-e^{-1})^2}[/math]

Этот подход плох только тем, что для обоснования законности перестановки знаков суммирования необходимо привлекать теоремку из теории повторных рядов, которую обычно в ВУЗах не проходят. Но можно аналогичным образом найти и частичную сумму ряда, а потом перейти к пределу, и это уже будет во всех смыслах корректный подход.

mozhik писал(а):
Но этот трюк не общий. Когда нету никакого параметра [math]\beta[/math], как можно вычислят сумму ряда?

Ввести этот параметр "насильно" в ряд удобным образом. Трюк может и не общий, но весьма распространенный и удобный. Вроде как в курсе матана он рассказывается (в теме "Почленное интегрирование и дифференцирование функциональных рядов").

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mozhik
 Заголовок сообщения: Re: Экспоненциальный ряд
СообщениеДобавлено: 22 авг 2017, 20:10 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
30 июн 2011, 12:57
Сообщений: 339
Cпасибо сказано: 84
Спасибо получено:
52 раз в 46 сообщениях
Очков репутации: 24

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Human
Ну как всегда, достойный ответ. :) Спасибо.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 9


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved