Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать поведение степенного ряда в граничных точках
СообщениеДобавлено: 16 июн 2017, 17:02 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 17:29
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Дан ряд:

[math]\sum_{n=1}^\infty \left[\frac{1\cdot 3\cdot 5 \ldots (2n-1)}{2\cdot4\cdot6\ldots(2n)}\right]^p\cdot\left(\frac{x-1}{2}\right)^n[/math]

Естественно, что

[math]a_n=\left[\frac{1\cdot3\cdot5\ldots(2n-1)}{2\cdot4\cdot6\ldots(2n)}\right]^p\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^n[/math]

Используя признак подобный признаку Даламбера:

[math]\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \ldots = 2\cdot\lim_{n \to \infty}\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)^p = 2[/math]

Тогда радиус сходимости: [math]R=2[/math] и [math]x_0=1[/math] (из определения степенного ряда [math]\sum_{n=1}^\infty=c_n(x-x_0)^n[/math])

По определению интервала сходимости [math]x \in (x_0-R;x_0+R) \Rightarrow x \in (-1;3)[/math]

Но как исследовать поведение в граничных точках интервала?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать поведение степенного ряда в граничных точках
СообщениеДобавлено: 16 июн 2017, 20:28 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 267
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В точке [math]x=-1[/math] ряд сходится по признаку Лейбница при [math]p >0[/math], иначе расходится. В точке [math]x = 3[/math] сказать не могу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать поведение степенного ряда в граничных точках
СообщениеДобавлено: 16 июн 2017, 23:10 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
03 янв 2017, 17:29
Сообщений: 49
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Space писал(а):
В точке [math]x=-1[/math] ряд сходится по признаку Лейбница при [math]p >0[/math], иначе расходится. В точке [math]x = 3[/math] сказать не могу.


А как оно вообще делается? В место [math]x[/math] подставляется в "оригинальный"
ряд граничные точки, а дальше проверяется сходимость/расходимость любым доступным признаком? (который лучше подойдет)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать поведение степенного ряда в граничных точках
СообщениеДобавлено: 17 июн 2017, 00:12 
Не в сети
Мастер
Зарегистрирован:
25 июл 2014, 13:28
Сообщений: 267
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
89 раз в 85 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, разумеется. При фиксированном [math]x[/math] имеем обычный числовой ряд. При исследовании сходимости можно рассматривать [math]x[/math] как параметр.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать поведение степенного ряда в граничных точках
СообщениеДобавлено: 17 июн 2017, 01:22 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 04:09
Сообщений: 3941
Cпасибо сказано: 111
Спасибо получено:
1754 раз в 1461 сообщениях
Очков репутации: 366

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Из формулы Валлиса (или формулы Стирлинга) следует, что

[math]\frac{1\cdot3\cdot\ldots\cdot(2n-1)}{2\cdot4\cdot\ldots\cdot(2n)}\sim\frac1{\sqrt{\pi n}}[/math]

так что общий член ряда при [math]x=3[/math] эквивалентен [math]\frac{C}{n^{\frac p2}}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать сходимость степенного ряда

в форуме Ряды

ater-felis

2

258

20 июн 2013, 16:47

Исследовать сходимость степенного ряда

в форуме Ряды

petua31

2

126

24 май 2015, 20:41

Исследовать асимптотическое поведение

в форуме Дифференциальное исчисление

youi

0

61

26 ноя 2016, 18:48

Исследовать на непрерывность функцию в указанных точках

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Tina5310

4

722

01 июн 2014, 12:01

Исследовать функцию на непрерывность в указанных точках

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

sveta1234

1

1761

14 окт 2012, 15:28

Исследовать функции на непрерывность в указанных точках

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Ersultan

1

366

19 мар 2015, 18:02

Исследовать функцию на непрерывность в указанных точках

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

alice_elvis

0

323

25 дек 2012, 18:21

Исследовать на непрерывность функции в заданных точках

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

virtusxs

0

210

09 янв 2016, 19:46

Сходимость степенного ряда

в форуме Ряды

saysoso

2

118

01 июн 2015, 15:15

сходимость степенного ряда

в форуме Ряды

ADS333

10

495

18 май 2012, 04:06


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved