Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 19 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
neurocore |
|
|
{n}}} {{{n^p} - 1}}}[/math] Нужно исследовать на абсолютную и условную сходимость. С тангенсом всё понятно, его значение не превышает [math]tan 1[/math]. Меня смущает вычитание единицы. Непонятно как правильно воспользоваться признаком сравнения (элементы очень похожи на элементы обобщённого гармонического ряда). При [math]p = 1[/math] лишь ясно, что расходится из-за [math]\frac{{\tan 1}} {{n - 1}} > \frac{{\tan 1}} {n}[/math] А ведь ещё при [math]p < 0[/math] непонятно что происходит |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали: swan |
||
neurocore |
|
|
О, для [math]p > 1[/math] придумал: отбрасываем 1й элемент и рассматриваем [math]n > 1[/math], тогда
[math]\frac{{\tan \frac{1} {n}}} {{{n^p} - 1}} \leqslant \frac{{\tan 1}} {{\frac{1} {2}{n^p}}}[/math] И ряд сходится абсолютно и условно как обобщённый гармонический при [math]p > 1[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
Так, при [math]p < 0[/math] делаем замену [math]k = -p[/math], тогда выражение примет вид:
[math]\frac{{\tan \frac{1} {n}}} {{{n^p} - 1}} = \frac{{\tan \frac{1} {n}}} {{\frac{1} {{{n^k}}} - 1}} = \frac{{{n^k}\tan \frac{1} {n}}} {{1 - {n^k}}}\xrightarrow[{n \to \infty }]{}0[/math] Если сходится, то одновременно абсолютно и условно. Необходимое условие сходимости выполнено. С чем его сравнивать - ума не приложу. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
neurocore писал(а): [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\tan \frac{1} {n}}} {{{n^p} - 1}}}[/math] Нужно исследовать на абсолютную и условную сходимость. С тангенсом всё понятно, его значение не превышает [math]tan 1[/math]. Меня смущает вычитание единицы. Непонятно как правильно воспользоваться признаком сравнения (элементы очень похожи на элементы обобщённого гармонического ряда). При [math]p = 1[/math] лишь ясно, что расходится из-за [math]\frac{{\tan 1}} {{n - 1}} > \frac{{\tan 1}} {n}[/math] А ведь ещё при [math]p < 0[/math] непонятно что происходит Типичная ошибка. После того как заменили ряд на мажорирующий, то смотреть можно только сходимость. Из расходимости мажорирующего ряда про исходный ничего сказать нельзя. |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
swan писал(а): neurocore писал(а): [math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\tan \frac{1} {n}}} {{{n^p} - 1}}}[/math] Нужно исследовать на абсолютную и условную сходимость. С тангенсом всё понятно, его значение не превышает [math]tan 1[/math]. Меня смущает вычитание единицы. Непонятно как правильно воспользоваться признаком сравнения (элементы очень похожи на элементы обобщённого гармонического ряда). При [math]p = 1[/math] лишь ясно, что расходится из-за [math]\frac{{\tan 1}} {{n - 1}} > \frac{{\tan 1}} {n}[/math] А ведь ещё при [math]p < 0[/math] непонятно что происходит Типичная ошибка. После того как заменили ряд на мажорирующий, то смотреть можно только сходимость. Из расходимости мажорирующего ряда про исходный ничего сказать нельзя. Нет, это понятно. Я рассмотрел лишь для [math]p = 1[/math]. Для остальных случаев конечно выражение остаётся тем же. |
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Что понятно? Что при р=1 исходный ряд сходится? Я не увидел, где это показано.
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Наоборот, написано что расходится. Потому и указал на ошибку. Ищите.
|
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
swan писал(а): Что понятно? Что при р=1 исходный ряд сходится? Я не увидел, где это показано. А, понял, я с тангенсом грубо поступил. Ведь [math]\tan \frac{1}{n} \leqslant 1[/math], но не наоборот. |
||
Вернуться к началу | ||
neurocore |
|
|
Забавная ситуация получается, тангенс убывает к нулю, а чтобы показать расходимость, нужно сравнить снизу. Выходит признаки сравнения бесполезны тут. Как ещё можно показать расходимость? Неужели по критерию Коши смотреть
|
||
Вернуться к началу | ||
swan |
|
|
Та замените тангенс на эквивалентную и будет вам щастье.
|
||
Вернуться к началу | ||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 19 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Гармонический ряд и предел
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
5 |
498 |
14 июл 2018, 16:09 |
|
Гармонический осциллятор
в форуме Специальные разделы |
3 |
476 |
17 янв 2018, 20:54 |
|
Гармонический анализ. Найти свертку
в форуме Ряды |
0 |
75 |
11 янв 2020, 22:38 |
|
Обобщенный ряд Фурье | 5 |
331 |
01 дек 2019, 02:42 |
|
Обобщённый линейные модели | 2 |
151 |
04 янв 2023, 23:33 |
|
Обобщенный бином Ньютона | 5 |
563 |
08 мар 2018, 22:17 |
|
Обобщенный алгоритм Евклида | 1 |
332 |
03 ноя 2016, 17:15 |
|
Почти как Гаусс
в форуме Геометрия |
5 |
145 |
17 ноя 2022, 06:47 |
|
Почти математическая задача | 6 |
681 |
22 сен 2017, 15:25 |
|
Почти постоянная функция
в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики |
1 |
287 |
09 июн 2017, 10:53 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |