Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 11:15 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\tan \frac{1}
{n}}}
{{{n^p} - 1}}}[/math]


Нужно исследовать на абсолютную и условную сходимость. С тангенсом всё понятно, его значение не превышает [math]tan 1[/math]. Меня смущает вычитание единицы.

Непонятно как правильно воспользоваться признаком сравнения (элементы очень похожи на элементы обобщённого гармонического ряда). При [math]p = 1[/math] лишь ясно, что расходится из-за [math]\frac{{\tan 1}}
{{n - 1}} > \frac{{\tan 1}}
{n}[/math]


А ведь ещё при [math]p < 0[/math] непонятно что происходит

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю neurocore "Спасибо" сказали:
swan
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 11:20 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
О, для [math]p > 1[/math] придумал: отбрасываем 1й элемент и рассматриваем [math]n > 1[/math], тогда

[math]\frac{{\tan \frac{1}
{n}}}
{{{n^p} - 1}} \leqslant \frac{{\tan 1}}
{{\frac{1}
{2}{n^p}}}[/math]


И ряд сходится абсолютно и условно как обобщённый гармонический при [math]p > 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 11:40 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так, при [math]p < 0[/math] делаем замену [math]k = -p[/math], тогда выражение примет вид:

[math]\frac{{\tan \frac{1}
{n}}}
{{{n^p} - 1}} = \frac{{\tan \frac{1}
{n}}}
{{\frac{1}
{{{n^k}}} - 1}} = \frac{{{n^k}\tan \frac{1}
{n}}}
{{1 - {n^k}}}\xrightarrow[{n \to \infty }]{}0[/math]


Если сходится, то одновременно абсолютно и условно. Необходимое условие сходимости выполнено. С чем его сравнивать - ума не приложу.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 13:23 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
neurocore писал(а):
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\tan \frac{1}
{n}}}
{{{n^p} - 1}}}[/math]


Нужно исследовать на абсолютную и условную сходимость. С тангенсом всё понятно, его значение не превышает [math]tan 1[/math]. Меня смущает вычитание единицы.

Непонятно как правильно воспользоваться признаком сравнения (элементы очень похожи на элементы обобщённого гармонического ряда). При [math]p = 1[/math] лишь ясно, что расходится из-за [math]\frac{{\tan 1}}
{{n - 1}} > \frac{{\tan 1}}
{n}[/math]


А ведь ещё при [math]p < 0[/math] непонятно что происходит

Типичная ошибка. После того как заменили ряд на мажорирующий, то смотреть можно только сходимость. Из расходимости мажорирующего ряда про исходный ничего сказать нельзя.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 13:26 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
neurocore писал(а):
[math]\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\tan \frac{1}
{n}}}
{{{n^p} - 1}}}[/math]


Нужно исследовать на абсолютную и условную сходимость. С тангенсом всё понятно, его значение не превышает [math]tan 1[/math]. Меня смущает вычитание единицы.

Непонятно как правильно воспользоваться признаком сравнения (элементы очень похожи на элементы обобщённого гармонического ряда). При [math]p = 1[/math] лишь ясно, что расходится из-за [math]\frac{{\tan 1}}
{{n - 1}} > \frac{{\tan 1}}
{n}[/math]


А ведь ещё при [math]p < 0[/math] непонятно что происходит

Типичная ошибка. После того как заменили ряд на мажорирующий, то смотреть можно только сходимость. Из расходимости мажорирующего ряда про исходный ничего сказать нельзя.


Нет, это понятно. Я рассмотрел лишь для [math]p = 1[/math]. Для остальных случаев конечно выражение остаётся тем же.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 13:29 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Что понятно? Что при р=1 исходный ряд сходится? Я не увидел, где это показано.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 13:33 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Наоборот, написано что расходится. Потому и указал на ошибку. Ищите.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 13:33 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
swan писал(а):
Что понятно? Что при р=1 исходный ряд сходится? Я не увидел, где это показано.


А, понял, я с тангенсом грубо поступил.
Ведь [math]\tan \frac{1}{n} \leqslant 1[/math], но не наоборот.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 13:36 
Не в сети
Оракул
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 дек 2011, 16:52
Сообщений: 705
Откуда: Барнаул
Cпасибо сказано: 95
Спасибо получено:
207 раз в 190 сообщениях
Очков репутации: 118

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Забавная ситуация получается, тангенс убывает к нулю, а чтобы показать расходимость, нужно сравнить снизу. Выходит признаки сравнения бесполезны тут. Как ещё можно показать расходимость? Неужели по критерию Коши смотреть

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Почти обобщённый гармонический ряд
СообщениеДобавлено: 24 фев 2017, 13:45 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
06 дек 2014, 09:11
Сообщений: 7070
Cпасибо сказано: 115
Спасибо получено:
1662 раз в 1508 сообщениях
Очков репутации: 283

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Та замените тангенс на эквивалентную и будет вам щастье.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 19 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Гармонический ряд и предел

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Arthur0905

5

498

14 июл 2018, 16:09

Гармонический осциллятор

в форуме Специальные разделы

letuswedge

3

476

17 янв 2018, 20:54

Гармонический анализ. Найти свертку

в форуме Ряды

lpa001

0

75

11 янв 2020, 22:38

Обобщенный ряд Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

kintouri99

5

331

01 дек 2019, 02:42

Обобщённый линейные модели

в форуме Математическая статистика и Эконометрика

Gavrilov_Igor

2

151

04 янв 2023, 23:33

Обобщенный бином Ньютона

в форуме Комплексный анализ и Операционное исчисление

Teorinorgchem

5

563

08 мар 2018, 22:17

Обобщенный алгоритм Евклида

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Knyazhskiy

1

332

03 ноя 2016, 17:15

Почти как Гаусс

в форуме Геометрия

MurChik

5

145

17 ноя 2022, 06:47

Почти математическая задача

в форуме Дискуссионные математические проблемы

andrei

6

681

22 сен 2017, 15:25

Почти постоянная функция

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

youi

1

287

09 июн 2017, 10:53


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 18


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  
cron

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved