Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 12 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 17:05 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 мар 2011, 17:01
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Расходится ряд или сходится? Почему?

Признак д'аламбер по условию задачи в данном случае ничего не определяет..

[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!e^n}{n^n}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 17:21 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ряд расходится по признаку Раабе.
Либо воспользуйтесь признаком Даламбера в основной (НЕ в предельной форме).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали:
l00na1836
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 18:27 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Как подсказал господин Minotaur, воспользуйтесь признаком Раабе

[math]\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n!e^n}{n^n}:\frac{(n+1)!e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!e^n}{n^n}:\frac{e(n+1)n!e^n}{(n+1)(n+1)^n}=\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n[/math]

[math]\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\!\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)&=\lim_{n\to\infty}n\!\left(\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n-1\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{-1}}\!\left(\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n-1\right)=\\ &=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n^{-1})'}{\!\left(\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n-1\right)\!}' \end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned} {\!\left(\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n-1\right)\!}'& =\frac{1}{e}{\!\left[{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\right]}'\\ y&={\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\\\ln{y}&=\ln{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n=n\ln(n+1)-n\ln{n}\\ \frac{y'}{y}&=\ln(n+1)+\frac{1}{n+1}-\left(\ln{n}+\frac{1}{n}\right)=\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\\ y'&={\left[{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\right]}'={\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\!\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right) \end{aligned}[/math]

[math]\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\!\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)& =-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{-2}}\left[\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right)\right]=\\ &=-\frac{1}{e}\lim_{n\to\infty}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\lim_{n\to\infty}n^2\!\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right]=\\ &=-\frac{1}{e}\cdot e\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{-2}}\!\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right]=\\ &=\left[\frac{0}{0}\right]=-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n^{-2})'}\!\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right]'=\\ &=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{-3}}\!\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\\&=-\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+2n+1}=-\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+2/n+1/n^2}=-\frac{1}{2}<1 \end{aligned}[/math]

Так как предел меньше 1, то, следовательно, ряд расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
l00na1836
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 19:00 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath
Что-то странное со скобками в ходе решения :)
Я его детально и не расписывал из-за сложности - поленился. Признак Даламбера в основной форме - гораздо проще :wink:
Последовательность [math]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/math] стремится монотонно к [math]e[/math] снизу, поэтому отношение [math]\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}[/math] будет больше 1 для любых натуральных [math]n[/math], откуда и следует расходимость ряда.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 19:22 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Minotaur, спасибо.

Вроде, исправил. Или не то исправил?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 19:23 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Minotaur, спасибо.

Вроде, исправил. Или не то исправил?

Все ок вроде сейчас.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 20:31 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 мар 2011, 17:01
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Minotaur, Alexdemath, спасибо большое! :good:

Только вот признак Раабе мы не проходили, его поэтому не разрешено применять.
Признак Даламбера в предельной форме, я до сих пор не могу вполне понять почему, но преподаватель в условия задачи указал, что он не применяем.

А как он звучит в основной форме?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 21:09 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
l00na1836, а формулу Стирлинга [math]n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/math] при [math]n\to\infty[/math] проходили?

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы.

Наиболее используемый вариант формулы:

[math]\ln\Gamma(n+1)=\ln{n!}=n\ln{n}-n+O(\log{n})[/math]

Следующий член в [math]O(\log{n})[/math] — это [math]\frac{1}{2}\ln(2\pi n)[/math]; таким образом более точная аппроксимация:

[math]\lim_{n\to\infty}\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^{n}} = 1,[/math] что эквивалентно [math]n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
l00na1836
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 21:42 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
l00na1836 писал(а):
Minotaur, Alexdemath, спасибо большое! :good:

Только вот признак Раабе мы не проходили, его поэтому не разрешено применять.
Признак Даламбера в предельной форме, я до сих пор не могу вполне понять почему, но преподаватель в условия задачи указал, что он не применяем.

А как он звучит в основной форме?

См. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т2, 370]. Там как раз рассматривается Ваш пример в обобщенном случае.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали:
l00na1836
 Заголовок сообщения: Re: Расходится ряд или сходится? Почему?
СообщениеДобавлено: 15 мар 2011, 22:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
15 мар 2011, 17:01
Сообщений: 3
Cпасибо сказано: 4
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо всем самое такое весеннее! :)
Сходила к учителю, уговорила его на то, чтоб пользоваться не только теоремами, что мы прошли.))
Так что теперь у меня целая туча вариантов.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю l00na1836 "Спасибо" сказали:
Minotaur
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 12 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходится или расходится ряд

в форуме Алгебра

kuberbager

5

134

04 ноя 2022, 12:13

Сходится или расходится ряд

в форуме Алгебра

DuMiX

4

145

08 ноя 2022, 17:28

Определить, сходится ряд или расходится

в форуме Ряды

snobbyzero

1

103

25 дек 2019, 21:30

Определить сходится ряд или расходится

в форуме Интегральное исчисление

DonKatine

1

204

03 апр 2016, 16:21

Определить, сходится или же расходится ряд

в форуме Ряды

ChpokHead

1

139

25 окт 2018, 21:04

Не получается определить сходится или расходится ряд

в форуме Ряды

mon_cher

1

326

15 июн 2021, 22:20

Сходится или расходится несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

Irishka09

1

344

16 дек 2015, 14:51

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится)

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

1

200

01 май 2017, 03:48

Несобственный интеграл (установить сходится или расходится

в форуме Интегральное исчисление

Abaranci

15

479

10 май 2017, 18:14

Определить, сходится или расходится несобственный интеграл

в форуме Интегральное исчисление

johnybsraynilol

4

238

11 сен 2018, 15:14


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved