Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 12 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
l00na1836 |
|
|
Признак д'аламбер по условию задачи в данном случае ничего не определяет.. [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!e^n}{n^n}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
Minotaur |
|
|
Ряд расходится по признаку Раабе.
Либо воспользуйтесь признаком Даламбера в основной (НЕ в предельной форме). |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали: l00na1836 |
||
Alexdemath |
|
|
Как подсказал господин Minotaur, воспользуйтесь признаком Раабе
[math]\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{n!e^n}{n^n}:\frac{(n+1)!e^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}=\frac{n!e^n}{n^n}:\frac{e(n+1)n!e^n}{(n+1)(n+1)^n}=\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n[/math] [math]\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\!\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)&=\lim_{n\to\infty}n\!\left(\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n-1\right)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{-1}}\!\left(\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n-1\right)=\\ &=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n^{-1})'}{\!\left(\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n-1\right)\!}' \end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned} {\!\left(\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n-1\right)\!}'& =\frac{1}{e}{\!\left[{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\right]}'\\ y&={\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\\\ln{y}&=\ln{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n=n\ln(n+1)-n\ln{n}\\ \frac{y'}{y}&=\ln(n+1)+\frac{1}{n+1}-\left(\ln{n}+\frac{1}{n}\right)=\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\\ y'&={\left[{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\right]}'={\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\!\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right) \end{aligned}[/math] [math]\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\!\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)& =-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{-2}}\left[\frac{1}{e}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\left(\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right)\right]=\\ &=-\frac{1}{e}\lim_{n\to\infty}{\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\!}^n\lim_{n\to\infty}n^2\!\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right]=\\ &=-\frac{1}{e}\cdot e\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{-2}}\!\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right]=\\ &=\left[\frac{0}{0}\right]=-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n^{-2})'}\!\left[\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)-\frac{1}{n+1}\right]'=\\ &=\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{-3}}\!\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}+\frac{1}{(n+1)^2}\right)=\\&=-\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n^2+2n+1}=-\frac{1}{2}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+2/n+1/n^2}=-\frac{1}{2}<1 \end{aligned}[/math] Так как предел меньше 1, то, следовательно, ряд расходится. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: l00na1836 |
||
Minotaur |
|
|
Alexdemath
Что-то странное со скобками в ходе решения Я его детально и не расписывал из-за сложности - поленился. Признак Даламбера в основной форме - гораздо проще Последовательность [math]\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/math] стремится монотонно к [math]e[/math] снизу, поэтому отношение [math]\frac{e}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}[/math] будет больше 1 для любых натуральных [math]n[/math], откуда и следует расходимость ряда. |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
Minotaur, спасибо.
Вроде, исправил. Или не то исправил? |
||
Вернуться к началу | ||
Minotaur |
|
|
Alexdemath писал(а): Minotaur, спасибо. Вроде, исправил. Или не то исправил? Все ок вроде сейчас. |
||
Вернуться к началу | ||
l00na1836 |
|
|
Minotaur, Alexdemath, спасибо большое!
Только вот признак Раабе мы не проходили, его поэтому не разрешено применять. Признак Даламбера в предельной форме, я до сих пор не могу вполне понять почему, но преподаватель в условия задачи указал, что он не применяем. А как он звучит в основной форме? |
||
Вернуться к началу | ||
Alexdemath |
|
|
l00na1836, а формулу Стирлинга [math]n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n[/math] при [math]n\to\infty[/math] проходили?
|
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали: l00na1836 |
||
Minotaur |
|
|
l00na1836 писал(а): Minotaur, Alexdemath, спасибо большое! Только вот признак Раабе мы не проходили, его поэтому не разрешено применять. Признак Даламбера в предельной форме, я до сих пор не могу вполне понять почему, но преподаватель в условия задачи указал, что он не применяем. А как он звучит в основной форме? См. Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т2, 370]. Там как раз рассматривается Ваш пример в обобщенном случае. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали: l00na1836 |
||
l00na1836 |
|
|
Спасибо всем самое такое весеннее!
Сходила к учителю, уговорила его на то, чтоб пользоваться не только теоремами, что мы прошли.)) Так что теперь у меня целая туча вариантов. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю l00na1836 "Спасибо" сказали: Minotaur |
||
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 12 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |