Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача с дифференциальным уравнением и арифметической прогре
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=43839
Страница 1 из 1

Автор:  student-uni [ 09 окт 2015, 00:03 ]
Заголовок сообщения:  Задача с дифференциальным уравнением и арифметической прогре

Дано:

гражданин Эн хочет положить 10000 евро в банк и брать из этой суммы по 100 евро в месяц. Этого ему хватило при отсутствии процентов по вкладу на 100 месяцев = 8,3 года. Но гражданин Эн ищет банк с таким годовым процентом, чтобы ему этой суммы хватило на 10 лет.

как высчитать процент, под который гражданин Эн должен положить деньги?

Примечание:
за расчет годового процента примем процент от средней суммы на счету за год. Пример: за первый год это будет процент от суммы (100000+99900+99800+99700+99600+99500+99400+99300+99200+99100+99000+98900) / 12 (по 100 в месяц уходит, складываем, делим на 12 и от этой суммы должен в конце года начисляться процент Х который мы ищем)

Что удалось решить:

поскольку ИМХО имеем дело с убывающей арифметической прогрессией можем сразу заменить
(100000+99900+99800+99700+99600+99500+99400+99300+99200+99100+99000+98900)
на формулу суммы н-членов арифметической прогрессии Sn = ((2A1 + (n-1)*d)/2), где А1 первый член = 100000, n=12 месяцев, d = -100 Евро месячный уход. Результат делим на 12 и получаем среднее на счету за год (обозначим как "P"), от чего и берется искомый процент "Х".

Вторым шагом находим состояние счета на 12-ом месяце = 98900, но также по формуле н-го члена арифметической прогрессии
An = A1+d(n-1). Результат обозначим как А12. К нему будут приплюсованы проценты P*X.

Так двигаемся дальше и ищем А24

А24 = А12 + d(n-1) = (A1+d(n-1) ) * P*X +d(n-1)


A36 = А24 + d(n-1) = ((A1+d(n-1) ) * P*X +d(n-1)) * P*X +d(n-1) = (A1+d(n-1) ) * (P*X)^2 +d(n-1)* P*X +d(n-1)


Уже на третьем году видно что Х ищется из Х^2 + Х + Константа

Очевидно на десятом году это будет Х в девятой степени + Х^8 + Х^7 + ... + Х^2 + Х + Константа.

Вопрос 1:

есть ли более простой способ найти Икс?

Вопрос 2:

Можно ли математически описать формулой такую убывающую последовательность, каждый двенадцатый член которой умножается на процент от среднего арифметического его 12-ти предшественников?

Спасибо

Автор:  michel [ 09 окт 2015, 12:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача с дифференциальным уравнением и арифметической прогре

Положим: [math]k=1+\frac{ x }{ 100 }[/math] ([math]x[/math] - годовой процент), [math]S=10000[/math], тогда после первого года остается:
1) [math]S+(S-550)(k-1)-1200=(S-550)k-650[/math], после второго
2) [math]((S-550)k-1200)k-650[/math] и т.д.
После 10 года осталось:
10) [math]{(S-550)}k^{10}-1200(k+k^2+...+k^9)-650=0[/math].
Получилось уравнение 10 степени с корнем [math]k=1,038[/math], т.е. [math]3,8[/math]% годовых.
Примечание: средняя сумма, на которую начисляется годовой процент, равна [math]S_{current}-550[/math], где [math]S_{current}[/math] - сумма на начало года.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/