Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сумма ряда
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=43127
Страница 1 из 2

Автор:  glover [ 27 авг 2015, 19:27 ]
Заголовок сообщения:  Сумма ряда

Здравствуйте! Нашёл сумму функционального ряда, а препод говорит - "не верно!" Подскажите пожалуйста, где ошибка?)
[math]\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \left({4{n^2}+ 9n + 5}\right){x^{n + 1}}=\frac{{3{x^2}+ 5x}}{{{{\left({1 - x}\right)}^3}}}[/math]

Автор:  Andy [ 27 авг 2015, 19:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

glover, запишите формулу правильно, пожалуйста!

Автор:  glover [ 27 авг 2015, 19:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

Не получается, извините! Получилось условие и мой ответ. Я интегрировал функцию и дифференцировал!

Автор:  glover [ 27 авг 2015, 19:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

Вот так начинал решение. Дальше писать не получается!
[math]x\frac{d}{{dx}}\int{\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty \left({4n + 5}\right)\left({n + 1}\right){x^n}}[/math]

Автор:  venjar [ 27 авг 2015, 20:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

Быть может проще раскрыть скобки под знаком суммы, расписать на три суммы и искать каждую отдельно, сводя следующую к предыдущей интегрированием?

Автор:  glover [ 27 авг 2015, 20:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

Но тогда буду иметь дело вот с этим

[math]4x\mathop \sum \limits_{n = 0}^\infty{n^2}{x^n}[/math]
Подскажите, пожалуйста, как быть с квадратом. Что нужно передёрнуть или перетасовать?
Может дважды интегрировать, а затем дважды дифференцировать?

Автор:  glover [ 27 авг 2015, 21:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

Вот так решал [math]\sum\limits_{n = 0}^\infty{\left({4{n^2}+ 9n + 5}\right){x^{n + 1}}}[/math]

[math]\begin{gathered}x\frac{d}{{dx}}\int{\sum\limits_{n = 0}^\infty{\left({n + 1}\right)\left({4n + 5}\right){x^n}}}= x\frac{d}{{dx}}\int{\sum\limits_{n = 0}^\infty{\left({4n + 5}\right){x^{n + 1}}=}}x\frac{d}{{dx}}\int{\sum\limits_{n = 0}^\infty{\left({4n + 5 - 1 + 1}\right){x^{n + 1}}=}}\hfill \\ = x\frac{d}{{dx}}\left[{\int{\sum\limits_{n = 0}^\infty{{x^{n + 1}}}}+ \int{\sum\limits_{n = 0}^\infty{\left({4n + 4}\right){x^{n + 1}}}}}\right] = x\frac{d}{{dx}}\left[{\frac{x}{{1 - x}}+ 4x\frac{d}{{dx}}\int{\sum\limits_{n = 0}^\infty{\left({n + 1}\right){x^n}}}}\right] = \hfill \\ = x\frac{d}{{dx}}\left[{\frac{x}{{1 - x}}+ 4x\frac{d}{{dx}}\sum\limits_{n = 0}^\infty{{x^{n + 1}}}}\right] = x\frac{d}{{dx}}\left[{\frac{x}{{1 - x}}+ \frac{{4x}}{{{{\left({1 - x}\right)}^2}}}}\right] = \frac{{3{x^2}+ 5x}}{{{{\left({1 - x}\right)}^3}}}\hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  swan [ 27 авг 2015, 21:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

Преподаватель неправ. Сумма найдена верно.

Автор:  glover [ 27 авг 2015, 21:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

Большое спасибо! Подскажите мне ещё, почему проссумировав исходный ряд в экселе (при любом значении х из интервала сходимости, я брал х=0,5) и сравнив с ответом, я получил совершенно разные цифры? Это погрешность, да? 47 получил при суммировании ряда и 26 при подстановке х=0,5 в ответ? :x Дело в том, что у двух других студентов ответы совпали!((

Автор:  swan [ 27 авг 2015, 22:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сумма ряда

Сумма ряда равна 26. 47 никак не может. Ищите там ошибку.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/