Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сумма знакочередующегося ряда
СообщениеДобавлено: 22 фев 2011, 20:53 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4280
Cпасибо сказано: 542
Спасибо получено:
1059 раз в 937 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Требуется найти сумму знакочередующегося ряда [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}}=1-\frac{3}{2}+\frac{5}{4}-\frac{7}{8}+\cdots[/math] Я доказал, что ряд сходится абсолютно, т.к. сходится ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{2^{n-1}}[/math] (признак Даламбера в предельной форме). Известно, что от перестановки членов абсолютно сходящегося ряда его сумма не меняется. Тогда [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}}=\left(1+\frac{5}{4}+\cdots\right)-\left(\frac{3}{2}+\frac{7}{8}+\cdots\right)=[/math] [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-3}{4^{n-1}}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{2^{2n-1}}[/math]. Если ряды [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-3}{4^{n-1}}[/math] и [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{2^{2n-1}}[/math] сходятся (а они сходятся по признаку Даламбера в предельной форме) и имеют суммы [math]S_1[/math] и [math]S_2[/math] соответственно, то ряд [math]\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}}[/math] имеет сумму [math]S=S_1-S_2[/math]. Далее я пытался найти [math]n[/math]-е частичные суммы этих двух рядов, но у меня это не получилось.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма знакочередующегося ряда.
СообщениеДобавлено: 22 фев 2011, 21:09 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 5984
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3235
Спасибо получено:
3106 раз в 2262 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ellipsoid

Функциональный ряд можно использовать?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма знакочередующегося ряда.
СообщениеДобавлено: 22 фев 2011, 21:15 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4280
Cпасибо сказано: 542
Спасибо получено:
1059 раз в 937 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Alexdemath писал(а):
Функциональный ряд можно использовать?


Alexdemath, нежелательно, т.к. я пока очень плохо владею этой темой. Без этого никак?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сумма знакочередующегося ряда.
СообщениеДобавлено: 22 фев 2011, 23:55 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 5984
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 3235
Спасибо получено:
3106 раз в 2262 сообщениях
Очков репутации: 651

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тогда почитайте о методе авторекурсии.
У меня получилось так

[math]\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}}=4\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{n}{2^n}-\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n-1}}=4\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{n}{2^n}-\frac{2}{3}[/math]

Сумму второго ряда вычислили как сумму геометрической прогрессии с общим членом [math]q=-\frac{1}{2}[/math] по известной формуле.

[math]\begin{aligned}S&=\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{n}{2^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^{n+2}\frac{n+1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{n+1}{2^n}=\\[3pt]&=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\frac{n}{2^n}+\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}=\\[3pt]&=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{n}{2^n}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}S+\frac{1}{3}\end{aligned}[/math]

Откуда [math]S+\frac{1}{2}S=\frac{1}{3}~\Leftrightarrow~\frac{3}{2}S=\frac{1}{3}~\Leftrightarrow~S=\frac{2}{9}[/math]

Итак, окончательно имеем:

[math]\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}\frac{2n-1}{2^{n-1}}=4\cdot\frac{2}{9}-\frac{2}{3}=\frac{8}{9}-\frac{2}{3}=\frac{2}{9}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
Ellipsoid, Minotaur
 Заголовок сообщения: Re: Сумма знакочередующегося ряда
СообщениеДобавлено: 23 фев 2011, 01:34 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
23 авг 2010, 22:28
Сообщений: 4280
Cпасибо сказано: 542
Спасибо получено:
1059 раз в 937 сообщениях
Очков репутации: 311

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо. :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Суммирование знакочередующегося натурального ряда

в форуме Размышления по поводу и без

ivashenko

5

151

20 июн 2019, 00:31

Вычислить сумму числового знакочередующегося ряда

в форуме Ряды

amorales

1

2877

18 дек 2010, 03:51

Найти конечную сумму знакочередующегося ряда

в форуме Ряды

Abbas

5

732

25 ноя 2012, 20:26

Сумма ряда - суммирование числового ряда

в форуме Ряды

mariya

2

1105

20 июн 2010, 14:37

Сумма ряда

в форуме Ряды

Meteri

2

305

27 фев 2013, 16:14

Сумма ряда

в форуме Ряды

dakulov

4

372

20 июн 2015, 10:13

Сумма ряда

в форуме Ряды

arreke

1

254

14 май 2012, 04:01

Сумма ряда

в форуме Ряды

arreke

1

277

14 май 2012, 04:11

Сумма ряда

в форуме Ряды

arreke

2

315

14 май 2012, 04:27

Сумма ряда

в форуме Ряды

Enot487

4

197

09 июн 2018, 01:17


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2019 MathHelpPlanet.com. All rights reserved