Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Найти первые три члена разложения функции в степенной ряд
СообщениеДобавлено: 18 апр 2010, 13:23 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 фев 2010, 18:41
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Ну помогите, пожалуйста, с заданием по рядам :-(

Найти первые три члена разложения функции [math]f\!:R\to{R}[/math] в степенной ряд [math]\sum{a_n(x-x_0)^n,\,n\in{Z_0}[/math], если:

1) [math]f(x)=x^x,~x_0=1[/math];

2) [math]f(x)=\tan{x},~x_0=0[/math];

3) [math]f(x)=\left\{\!\begin{gathered}0,~~~~~~~~~~~~~x=0\hfill\\(1+x)^{1/x},~x\in{R}\setminus\{0\}.\hfill\\\end{gathered}\right.~~x_0=0[/math];

4) [math]f(x)=\left\{\!\begin{gathered}0,~~~~~~~~~~~~x=0\hfill\\\cot{x}-\frac{1}{x},~x\in{R}\setminus\{0\}.\hfill\\\end{gathered}\right.~~x_0=0[/math];

5) [math]f(x)=\int\limits_{0}^{x}\frac{t\,dt}{\ln(1+t)},~x_0=0[/math];

6) [math]f(x)=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}\right)^{-1},~x_0=0.[/math]

Мне осталось сделать только эти задания, а они оказались самые сложные, а я почти не представляю, как раскладывать эти функции в ряд :nails: :nails: :nails:

И огромнейшее спасибо за помощь в прошлый раз! Просто спасли "блондинку" от расстрела!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти первые три члена разложения функции в степенной ряд
СообщениеДобавлено: 18 апр 2010, 14:28 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Эти задачи можно решать различными способами. Например, рассмотрим последнюю.
Всё, что будем писать ниже справедливо в круге |x|<1 (попробуйте обосновать самостоятельно).

Будем искать f(x) в виде степенного ряда [math]f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty{a_kx^k}[/math]

Тогда по условию задачи должно выполнятся тождество при |x|<1

[math]1=\sum\limits_{k=0}^\infty{a_kx^k}\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{{x^n}}{{n+1}}}=\sum\limits_{m=0}^\infty{x^m\sum\limits_{k+n=m}{\frac{a_k}{n+1}}}[/math]

Отсюда получаем систему уравнений

[math]a_0=1[/math]
[math]\frac{a_0}{2}+a_1=0[/math]
[math]\frac{a_0}{3}+\frac{a_1}{2}+a_2=0[/math]
[math]\frac{a_0}{4}+\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{2}+a_3=0[/math]

Откуда последовательно определяем
[math]a_0=1,a_1=-\frac{1}{2},a_2=-\frac{1}{12},a_3=-\frac{1}{24}[/math]

Таким образом разложение функции f(x) начинается так
[math]f\left(x\right)=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{{24}}x^3+o\left({x^3}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
Alexdemath, LaraSoft
 Заголовок сообщения: Re: Найти первые три члена разложения функции в степенной ряд
СообщениеДобавлено: 18 апр 2010, 14:53 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
25 фев 2010, 18:41
Сообщений: 46
Cпасибо сказано: 28
Спасибо получено:
2 раз в 2 сообщениях
Очков репутации: 2

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Огромное спасибо!

Цитата:
Всё, что будем писать ниже справедливо в круге |x|<1 (попробуйте обосновать самостоятельно).


Я понимаю почему, потому что вне этого круга ряд расходится, что очевидно, верно?


Помогите, пожалуйста, ещё с какими-нибудь примерами :blush:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Найти первые три члена разложения функции в степенной ряд
СообщениеДобавлено: 18 апр 2010, 14:55 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрим задачу 5.
Если продифференцировать данную функцию, то получим
[math]f'\left(x\right)=\frac{x}{{\ln\left({1+x}\right)}}[/math]
Далее дороги расходятся. Можно продолжать дифференцировать и искать эти производные в точке 0, а можно обратить внимание на то, что эта производная равна функции из задачи 6 в точке -х (функцию из задачи 6 обозначим g(x)).
Действительно, обозначим
[math]S\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{{x^n}}{{n+1}}}[/math]
Тогда
[math]\left({xS\left(x\right)}\right)^{'}=\sum\limits_{n=0}^\infty{x^n}=\frac{1}{{1-x}}[/math]
Отсюда
[math]S\left(x\right)=-\frac{{\ln\left({1-x}\right)}}{x}[/math]
Поэтому
[math]g\left(x\right)=\frac{{-x}}{{\ln\left({1-x}\right)}}[/math]
Теперь воспользуемся решением задачи 6
[math]f'\left(x\right)=g\left({-x}\right)=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{{12}}x^2+\frac{1}{{24}}x^3+o\left({x^3}\right)[/math]
Учитывая f(0) = 0, интегрируя это тождество, получим ответ (даже с большим чем надо числом слагаемых, но не будем...)
[math]f\left(x\right)=x+\frac{{x^2}}{4}-\frac{{x^3}}{{36}}+o\left({x^3}\right)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
LaraSoft
 Заголовок сообщения: Re: Найти первые три члена разложения функции в степенной ряд
СообщениеДобавлено: 18 апр 2010, 15:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Я понимаю почему, потому что вне этого круга ряд расходится, что очевидно, верно?

Лучше сказать что внутри круга эти степенные ряды сходятся.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
LaraSoft
 Заголовок сообщения: Re: Найти первые три члена разложения функции в степенной ряд
СообщениеДобавлено: 18 апр 2010, 15:14 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В первой и третьей задаче при дифференцировании можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством
[math]a^b=e^{b\ln{a}}[/math]
Во второй и четвёртой надо честно вычислять производные, для применения формулы Тейлора. Можно немного упростить себе работу, вычисляя производные не в самой требуемой точке, а в соседних. Затем вычислять пределы. Это можно делать потому, что в указанных точках устранимые особенности и, следовательно, в окрестности этих точек функции регулярны.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
LaraSoft
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Найти первые 4 члена разложения в степенной ряд

в форуме Ряды

timdeygun

13

1342

14 дек 2016, 19:31

Найти первые 4 члена разложения в степенной ряд ДУ

в форуме Ряды

irina_malesha

1

1167

02 дек 2014, 20:45

Найти первые 3 члена разложения в степенной ряд

в форуме Ряды

bogdan134

2

367

31 мар 2021, 14:24

Найти первые 4 члена разложения в степенной ряд ДУ

в форуме Ряды

fedorovmax13

1

404

13 окт 2020, 14:40

Найти первые 4 ненулевые члена разложения в ряд решения

в форуме Дифференциальное исчисление

Brunetka25

0

881

07 дек 2015, 15:58

Выписать три первых ненулевых члена разложения в степенной с

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

apple-wolf

5

481

09 май 2019, 22:58

Найти первые четыре члена ряда

в форуме Ряды

Ryslannn

5

665

11 дек 2017, 12:07

Найти первые четыре члена ряда

в форуме Ряды

Ryslannn

13

753

14 ноя 2017, 15:51

Найти первые три отличных от нуля члена ряда

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

plktre

2

226

02 янв 2022, 12:47

С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд

в форуме Ряды

Yasnezhinka

1

385

21 ноя 2016, 13:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved