Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 6 ] |
|
Автор | Сообщение | ||
---|---|---|---|
LaraSoft |
|
||
Ну помогите, пожалуйста, с заданием по рядам Найти первые три члена разложения функции [math]f\!:R\to{R}[/math] в степенной ряд [math]\sum{a_n(x-x_0)^n,\,n\in{Z_0}[/math], если: 1) [math]f(x)=x^x,~x_0=1[/math]; 2) [math]f(x)=\tan{x},~x_0=0[/math]; 3) [math]f(x)=\left\{\!\begin{gathered}0,~~~~~~~~~~~~~x=0\hfill\\(1+x)^{1/x},~x\in{R}\setminus\{0\}.\hfill\\\end{gathered}\right.~~x_0=0[/math]; 4) [math]f(x)=\left\{\!\begin{gathered}0,~~~~~~~~~~~~x=0\hfill\\\cot{x}-\frac{1}{x},~x\in{R}\setminus\{0\}.\hfill\\\end{gathered}\right.~~x_0=0[/math]; 5) [math]f(x)=\int\limits_{0}^{x}\frac{t\,dt}{\ln(1+t)},~x_0=0[/math]; 6) [math]f(x)=\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n+1}\right)^{-1},~x_0=0.[/math] Мне осталось сделать только эти задания, а они оказались самые сложные, а я почти не представляю, как раскладывать эти функции в ряд И огромнейшее спасибо за помощь в прошлый раз! Просто спасли "блондинку" от расстрела! |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Эти задачи можно решать различными способами. Например, рассмотрим последнюю.
Всё, что будем писать ниже справедливо в круге |x|<1 (попробуйте обосновать самостоятельно). Будем искать f(x) в виде степенного ряда [math]f(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty{a_kx^k}[/math] Тогда по условию задачи должно выполнятся тождество при |x|<1 [math]1=\sum\limits_{k=0}^\infty{a_kx^k}\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{{x^n}}{{n+1}}}=\sum\limits_{m=0}^\infty{x^m\sum\limits_{k+n=m}{\frac{a_k}{n+1}}}[/math] Отсюда получаем систему уравнений [math]a_0=1[/math] [math]\frac{a_0}{2}+a_1=0[/math] [math]\frac{a_0}{3}+\frac{a_1}{2}+a_2=0[/math] [math]\frac{a_0}{4}+\frac{a_1}{3}+\frac{a_2}{2}+a_3=0[/math] Откуда последовательно определяем [math]a_0=1,a_1=-\frac{1}{2},a_2=-\frac{1}{12},a_3=-\frac{1}{24}[/math] Таким образом разложение функции f(x) начинается так [math]f\left(x\right)=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}x^2-\frac{1}{{24}}x^3+o\left({x^3}\right)[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: Alexdemath, LaraSoft |
|||
LaraSoft |
|
||
Огромное спасибо!
Цитата: Всё, что будем писать ниже справедливо в круге |x|<1 (попробуйте обосновать самостоятельно). Я понимаю почему, потому что вне этого круга ряд расходится, что очевидно, верно? Помогите, пожалуйста, ещё с какими-нибудь примерами |
|||
Вернуться к началу | |||
Prokop |
|
||
Посмотрим задачу 5.
Если продифференцировать данную функцию, то получим [math]f'\left(x\right)=\frac{x}{{\ln\left({1+x}\right)}}[/math] Далее дороги расходятся. Можно продолжать дифференцировать и искать эти производные в точке 0, а можно обратить внимание на то, что эта производная равна функции из задачи 6 в точке -х (функцию из задачи 6 обозначим g(x)). Действительно, обозначим [math]S\left(x\right)=\sum\limits_{n=0}^\infty{\frac{{x^n}}{{n+1}}}[/math] Тогда [math]\left({xS\left(x\right)}\right)^{'}=\sum\limits_{n=0}^\infty{x^n}=\frac{1}{{1-x}}[/math] Отсюда [math]S\left(x\right)=-\frac{{\ln\left({1-x}\right)}}{x}[/math] Поэтому [math]g\left(x\right)=\frac{{-x}}{{\ln\left({1-x}\right)}}[/math] Теперь воспользуемся решением задачи 6 [math]f'\left(x\right)=g\left({-x}\right)=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{{12}}x^2+\frac{1}{{24}}x^3+o\left({x^3}\right)[/math] Учитывая f(0) = 0, интегрируя это тождество, получим ответ (даже с большим чем надо числом слагаемых, но не будем...) [math]f\left(x\right)=x+\frac{{x^2}}{4}-\frac{{x^3}}{{36}}+o\left({x^3}\right)[/math] |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: LaraSoft |
|||
Prokop |
|
|
Цитата: Я понимаю почему, потому что вне этого круга ряд расходится, что очевидно, верно? Лучше сказать что внутри круга эти степенные ряды сходятся. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: LaraSoft |
||
Prokop |
|
||
В первой и третьей задаче при дифференцировании можно воспользоваться основным логарифмическим тождеством
[math]a^b=e^{b\ln{a}}[/math] Во второй и четвёртой надо честно вычислять производные, для применения формулы Тейлора. Можно немного упростить себе работу, вычисляя производные не в самой требуемой точке, а в соседних. Затем вычислять пределы. Это можно делать потому, что в указанных точках устранимые особенности и, следовательно, в окрестности этих точек функции регулярны. |
|||
Вернуться к началу | |||
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: LaraSoft |
|||
[ Сообщений: 6 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Найти первые 4 члена разложения в степенной ряд
в форуме Ряды |
13 |
1342 |
14 дек 2016, 19:31 |
|
Найти первые 4 члена разложения в степенной ряд ДУ
в форуме Ряды |
1 |
1167 |
02 дек 2014, 20:45 |
|
Найти первые 3 члена разложения в степенной ряд
в форуме Ряды |
2 |
367 |
31 мар 2021, 14:24 |
|
Найти первые 4 члена разложения в степенной ряд ДУ
в форуме Ряды |
1 |
404 |
13 окт 2020, 14:40 |
|
Найти первые 4 ненулевые члена разложения в ряд решения
в форуме Дифференциальное исчисление |
0 |
881 |
07 дек 2015, 15:58 |
|
Выписать три первых ненулевых члена разложения в степенной с | 5 |
481 |
09 май 2019, 22:58 |
|
Найти первые четыре члена ряда
в форуме Ряды |
5 |
665 |
11 дек 2017, 12:07 |
|
Найти первые четыре члена ряда
в форуме Ряды |
13 |
753 |
14 ноя 2017, 15:51 |
|
Найти первые три отличных от нуля члена ряда | 2 |
226 |
02 янв 2022, 12:47 |
|
С помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд
в форуме Ряды |
1 |
385 |
21 ноя 2016, 13:20 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |