Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: область сходимости кратного степенного ряда
СообщениеДобавлено: 31 янв 2011, 17:13 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2011, 16:06
Сообщений: 6
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите найти область сходимости такого ряда

[math]\sum\limits_{{k_1},{k_2} = 0}^\infty {\frac{{z_1^{{k_1}}z_2^{{k_2}}}}
{{{{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)}^{{k_1}}}}}}[/math]

здесь [math]z \in {{\Bbb C}^n},k \in {\Bbb Z}_ + ^n[/math]


Последний раз редактировалось mendes 31 янв 2011, 21:45, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: область сходимости кратного степенного ряда
СообщениеДобавлено: 31 янв 2011, 21:07 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В условии что-то не то.
Что означает сходимость двойного ряда?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: область сходимости кратного степенного ряда
СообщениеДобавлено: 31 янв 2011, 22:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2011, 16:06
Сообщений: 6
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да действительно в условии ошибка. Уже исправил. Мне кажется, что здесь нужно использовать пространственный аналог формулы Коши-Адамара(сопряженные радиусы сходимости ряда)
Т.е. найти и при каких r1 и r2 предел равен нулю
[math]\overline {\mathop {\lim }\limits_{{k_1} + {k_2} \to \infty } } \root {{k_1} + {k_2}} \of {\frac{{r_1^{{k_1}}r_2^{{k_2}}}}
{{{{\left( {{k_1} + {k_2}} \right)}^{{k_1}}}}}}[/math]

Зная r1 и r2 сможем записать область сходимости данного ряда в виде [math]\left\{ {\left( {{z_1},{z_2}} \right):\left| {{z_1}} \right| < ,\left| {{z_2}} \right| < } \right\}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: область сходимости кратного степенного ряда
СообщениеДобавлено: 02 фев 2011, 09:45 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Достаточно найти область абсолютной сходимости этого ряда.
Будем считать, что [math]k_1 ,k_2 \geqslant 1[/math]. Сходимость таких рядов следует из сходимости повторного ряда. Оценим сумму ряда по индексу [math]k_2[/math]. Он сходится при [math]\left| {z_2 } \right| < 1[/math] и расходится если [math]\left| {z_2 } \right| > 1[/math]
[math]\sum\limits_{k_2 = 1}^\infty {\frac{{\left| {z_2 } \right|^{k_2 } }}{{\left( {k_1 + k_2 } \right)^{k_1 } }}} < \frac{1}{{k_1 ^{k_1 } }}\frac{1}{{1 - \left| {z_2 } \right|}}[/math]
Тогда сумма исходного ряда не превосходит
[math]\frac{1}{{1 - \left| {z_2 } \right|}}\sum\limits_{k_1 = 1}^\infty {\frac{{\left| {z_1 } \right|^{k_1 } }}{{k_1 ^{k_1 } }}}[/math]
Последний ряд сходится при всех [math]z_1[/math].
Ответ: [math]\left| {z_1 } \right| < \infty , \left| {z_2 } \right| < 1[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
mendes
 Заголовок сообщения: Re: область сходимости кратного степенного ряда
СообщениеДобавлено: 02 фев 2011, 10:24 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 янв 2011, 16:06
Сообщений: 6
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 2
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо Вам. Может Вы сможете посоветовать какую-то литературу по этой теме, а то у меня только Фихтенгольц и Шабат есть.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: область сходимости кратного степенного ряда
СообщениеДобавлено: 02 фев 2011, 10:38 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
К сожалению, посоветовать ничего не могу. У меня тоже книги Фихтенгольца.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: область сходимости кратного степенного ряда
СообщениеДобавлено: 02 фев 2011, 17:00 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
19 янв 2011, 20:52
Сообщений: 373
Откуда: Киев
Cпасибо сказано: 32
Спасибо получено:
212 раз в 159 сообщениях
Очков репутации: 90

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
mendes писал(а):
Спасибо Вам. Может Вы сможете посоветовать какую-то литературу по этой теме, а то у меня только Фихтенгольц и Шабат есть.

Нашел недавно: Н.Н.Воробьев. Теория рядов. М., Наука, 1979 год.
PDF находится через Google. http://www.phbme.ntu-kpi.kiev.ua/~antp/ ... s/0012.pdf
Может, есть в ней что-то есть, близкое к Вашей теме.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Minotaur "Спасибо" сказали:
mendes
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

kristalliks

2

98

14 июн 2023, 02:35

Область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Rakf

1

328

01 дек 2016, 00:34

Область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Relanium1965

8

302

13 июл 2023, 14:35

Область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

351w

4

400

27 апр 2019, 09:46

Область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

VKopeluk

2

356

15 апр 2016, 12:20

Область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Marika+

5

498

27 окт 2014, 16:05

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

Olya_z

7

706

12 июн 2014, 16:26

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

fhkjghjk

0

110

03 июн 2020, 17:08

Найти область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

kklmnx

1

302

23 янв 2023, 03:40

Найдите область сходимости степенного ряда

в форуме Ряды

verochkam

0

190

16 май 2018, 15:28


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 17


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved