| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Равномерная сходимость ряда ln http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=36827 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | RikkiTan1 [ 18 ноя 2014, 08:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Равномерная сходимость ряда ln |
Доброго времени суток! Есть такой ряд [math]\sum\limits_3^\infty\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n}), X=(-\infty;+\infty)[/math] Вообщем идея, была заменить логарифм [math]\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n})[/math] на [math]\frac{\sin nx}{n \ln n}[/math]. Но тогда из сходимости ряда [math]\frac{\sin nx}{n\ln n}[/math] не следовала бы сходимость исходного, т.к. первый не знакоположительный. Поэтому заменял модуль логарифма [math]|\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n})|[/math] на [math]\frac{|\sin nx|}{n \ln n}[/math]. Вроде похоже на признак Дирихле, но сумма модулей синуса [math]\sum\limits_3^n|\sin nx|[/math] она, кажется, в отличие от просто суммы синусов [math]\sum\limits_3^n\sin nx[/math] не является ограниченной. Подскажите, пожалуйста, идею. |
|
| Автор: | Prokop [ 18 ноя 2014, 09:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость ряда ln |
Ваша идея правильная. Представьте ряд в виде суммы двух равномерно сходящихся рядов [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}= \sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}+ \sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] |
|
| Автор: | RikkiTan1 [ 18 ноя 2014, 20:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость ряда ln |
Ооо, если я правильно понял, то исходный ряд теперь даже не просто сходится одновременно с рядом [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}[/math], но и их суммы равны, т.к. сумма второго ряда [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] тождественно равна нулю[math]0[/math]. Круто. |
|
| Автор: | Prokop [ 18 ноя 2014, 22:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость ряда ln |
С какой стати сумма второго ряда равна нулю? Второй ряд сходится равномерно в силу признака Вейерштрасса. |
|
| Автор: | RikkiTan1 [ 19 ноя 2014, 17:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Равномерная сходимость ряда ln |
Сумма ряда [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] у меня получилась равна нулю после того, как я заменил логарифм [math]\ln (1 + \frac{\sin nx}{n\ln n})[/math]на [math]\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math]. Но если этого не надо делать, то какая из моих идей была правильной? Prokop писал(а): Ваша идея правильная Можно, наверное, разложить логарифм [math]\ln (1 + \frac{\sin nx}{n\ln n})= \frac{\sin nx}{n\ln n}+O( \frac{\sin^2 nx}{n^2\ln^2 n})[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{n=3}^\infty( O(\frac{\sin^2 nx}{n^2\ln^2 n}))[/math] сходится равномерно по признаку Вейерштрасса. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|