Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Равномерная сходимость ряда ln
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=36827
Страница 1 из 1

Автор:  RikkiTan1 [ 18 ноя 2014, 08:13 ]
Заголовок сообщения:  Равномерная сходимость ряда ln

Доброго времени суток! Есть такой ряд
[math]\sum\limits_3^\infty\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n}), X=(-\infty;+\infty)[/math]

Вообщем идея, была заменить логарифм [math]\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n})[/math] на [math]\frac{\sin nx}{n \ln n}[/math]. Но тогда из сходимости ряда [math]\frac{\sin nx}{n\ln n}[/math] не следовала бы сходимость исходного, т.к. первый не знакоположительный. Поэтому заменял модуль логарифма [math]|\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n})|[/math] на [math]\frac{|\sin nx|}{n \ln n}[/math]. Вроде похоже на признак Дирихле, но сумма модулей синуса [math]\sum\limits_3^n|\sin nx|[/math] она, кажется, в отличие от просто суммы синусов [math]\sum\limits_3^n\sin nx[/math] не является ограниченной. Подскажите, пожалуйста, идею.

Автор:  Prokop [ 18 ноя 2014, 09:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость ряда ln

Ваша идея правильная. Представьте ряд в виде суммы двух равномерно сходящихся рядов
[math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}= \sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}+ \sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math]

Автор:  RikkiTan1 [ 18 ноя 2014, 20:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость ряда ln

Ооо, если я правильно понял, то исходный ряд теперь даже не просто сходится одновременно с рядом [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}[/math], но и их суммы равны, т.к. сумма второго ряда [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] тождественно равна нулю[math]0[/math]. Круто.

Автор:  Prokop [ 18 ноя 2014, 22:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость ряда ln

С какой стати сумма второго ряда равна нулю?
Второй ряд сходится равномерно в силу признака Вейерштрасса.

Автор:  RikkiTan1 [ 19 ноя 2014, 17:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Равномерная сходимость ряда ln

Сумма ряда [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] у меня получилась равна нулю после того, как я заменил логарифм [math]\ln (1 + \frac{\sin nx}{n\ln n})[/math]на [math]\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math]. Но если этого не надо делать, то какая из моих идей была правильной?
Prokop писал(а):
Ваша идея правильная

Можно, наверное, разложить логарифм [math]\ln (1 + \frac{\sin nx}{n\ln n})= \frac{\sin nx}{n\ln n}+O( \frac{\sin^2 nx}{n^2\ln^2 n})[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{n=3}^\infty( O(\frac{\sin^2 nx}{n^2\ln^2 n}))[/math] сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/