Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Равномерная сходимость ряда ln
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2014, 08:13 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток! Есть такой ряд
[math]\sum\limits_3^\infty\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n}), X=(-\infty;+\infty)[/math]

Вообщем идея, была заменить логарифм [math]\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n})[/math] на [math]\frac{\sin nx}{n \ln n}[/math]. Но тогда из сходимости ряда [math]\frac{\sin nx}{n\ln n}[/math] не следовала бы сходимость исходного, т.к. первый не знакоположительный. Поэтому заменял модуль логарифма [math]|\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n})|[/math] на [math]\frac{|\sin nx|}{n \ln n}[/math]. Вроде похоже на признак Дирихле, но сумма модулей синуса [math]\sum\limits_3^n|\sin nx|[/math] она, кажется, в отличие от просто суммы синусов [math]\sum\limits_3^n\sin nx[/math] не является ограниченной. Подскажите, пожалуйста, идею.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость ряда ln
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2014, 09:06 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ваша идея правильная. Представьте ряд в виде суммы двух равномерно сходящихся рядов
[math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}= \sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}+ \sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость ряда ln
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2014, 20:18 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ооо, если я правильно понял, то исходный ряд теперь даже не просто сходится одновременно с рядом [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}[/math], но и их суммы равны, т.к. сумма второго ряда [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] тождественно равна нулю[math]0[/math]. Круто.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость ряда ln
СообщениеДобавлено: 18 ноя 2014, 22:59 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
С какой стати сумма второго ряда равна нулю?
Второй ряд сходится равномерно в силу признака Вейерштрасса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Равномерная сходимость ряда ln
СообщениеДобавлено: 19 ноя 2014, 17:23 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Сумма ряда [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] у меня получилась равна нулю после того, как я заменил логарифм [math]\ln (1 + \frac{\sin nx}{n\ln n})[/math]на [math]\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math]. Но если этого не надо делать, то какая из моих идей была правильной?
Prokop писал(а):
Ваша идея правильная

Можно, наверное, разложить логарифм [math]\ln (1 + \frac{\sin nx}{n\ln n})= \frac{\sin nx}{n\ln n}+O( \frac{\sin^2 nx}{n^2\ln^2 n})[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{n=3}^\infty( O(\frac{\sin^2 nx}{n^2\ln^2 n}))[/math] сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Равномерная сходимость ряда

в форуме Ряды

Viki4

28

650

20 апр 2023, 20:23

Равномерная сходимость ряда

в форуме Ряды

calabi

18

345

01 июн 2022, 14:50

Равномерная сходимость ряда

в форуме Ряды

Gargantua

2

415

17 ноя 2015, 11:54

Равномерная сходимость ряда

в форуме Ряды

DorianT

1

315

22 ноя 2017, 19:01

Равномерная сходимость функционального ряда

в форуме Ряды

Sykes

3

196

17 окт 2020, 14:23

Равномерная сходимость ряда, признак Вейерштрасса

в форуме Ряды

Resolut1on

6

286

27 ноя 2020, 14:52

Равномерная сходимость и характер сходимости ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

RodionSabitov

0

524

27 май 2014, 22:47

Равномерная сходимость

в форуме Ряды

petkosser

0

336

12 дек 2015, 16:18

Равномерная сходимость

в форуме Ряды

khammisha

4

478

15 дек 2017, 13:38

Равномерная сходимость

в форуме Ряды

Stasya7

2

313

23 окт 2014, 15:56


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved