Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 5 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
RikkiTan1 |
|
|
[math]\sum\limits_3^\infty\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n}), X=(-\infty;+\infty)[/math] Вообщем идея, была заменить логарифм [math]\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n})[/math] на [math]\frac{\sin nx}{n \ln n}[/math]. Но тогда из сходимости ряда [math]\frac{\sin nx}{n\ln n}[/math] не следовала бы сходимость исходного, т.к. первый не знакоположительный. Поэтому заменял модуль логарифма [math]|\ln(1+\frac{\sin nx}{n \ln n})|[/math] на [math]\frac{|\sin nx|}{n \ln n}[/math]. Вроде похоже на признак Дирихле, но сумма модулей синуса [math]\sum\limits_3^n|\sin nx|[/math] она, кажется, в отличие от просто суммы синусов [math]\sum\limits_3^n\sin nx[/math] не является ограниченной. Подскажите, пожалуйста, идею. |
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
Ваша идея правильная. Представьте ряд в виде суммы двух равномерно сходящихся рядов
[math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}= \sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}+ \sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] |
||
Вернуться к началу | ||
RikkiTan1 |
|
|
Ооо, если я правильно понял, то исходный ряд теперь даже не просто сходится одновременно с рядом [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}[/math], но и их суммы равны, т.к. сумма второго ряда [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] тождественно равна нулю[math]0[/math]. Круто.
|
||
Вернуться к началу | ||
Prokop |
|
|
С какой стати сумма второго ряда равна нулю?
Второй ряд сходится равномерно в силу признака Вейерштрасса. |
||
Вернуться к началу | ||
RikkiTan1 |
|
|
Сумма ряда [math]\sum\limits_{n = 3}^\infty{\left({\ln \left({1 + \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right) - \frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math] у меня получилась равна нулю после того, как я заменил логарифм [math]\ln (1 + \frac{\sin nx}{n\ln n})[/math]на [math]\frac{{\sin nx}}{{n\ln n}}}\right)}[/math]. Но если этого не надо делать, то какая из моих идей была правильной?
Prokop писал(а): Ваша идея правильная Можно, наверное, разложить логарифм [math]\ln (1 + \frac{\sin nx}{n\ln n})= \frac{\sin nx}{n\ln n}+O( \frac{\sin^2 nx}{n^2\ln^2 n})[/math]. Тогда [math]\sum\limits_{n=3}^\infty( O(\frac{\sin^2 nx}{n^2\ln^2 n}))[/math] сходится равномерно по признаку Вейерштрасса. |
||
Вернуться к началу | ||
[ Сообщений: 5 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Равномерная сходимость ряда
в форуме Ряды |
28 |
650 |
20 апр 2023, 20:23 |
|
Равномерная сходимость ряда
в форуме Ряды |
18 |
345 |
01 июн 2022, 14:50 |
|
Равномерная сходимость ряда
в форуме Ряды |
2 |
415 |
17 ноя 2015, 11:54 |
|
Равномерная сходимость ряда
в форуме Ряды |
1 |
315 |
22 ноя 2017, 19:01 |
|
Равномерная сходимость функционального ряда
в форуме Ряды |
3 |
196 |
17 окт 2020, 14:23 |
|
Равномерная сходимость ряда, признак Вейерштрасса
в форуме Ряды |
6 |
286 |
27 ноя 2020, 14:52 |
|
Равномерная сходимость и характер сходимости ряда Фурье | 0 |
524 |
27 май 2014, 22:47 |
|
Равномерная сходимость
в форуме Ряды |
0 |
336 |
12 дек 2015, 16:18 |
|
Равномерная сходимость
в форуме Ряды |
4 |
478 |
15 дек 2017, 13:38 |
|
Равномерная сходимость
в форуме Ряды |
2 |
313 |
23 окт 2014, 15:56 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 13 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |