| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Сходимость непосредственно http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=35540 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 14:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Сходимость непосредственно |
Доброго времени суток! Необходимо доказать непосредственно сходимость ряда [math]q\sin\alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^nsinn\alpha+...[/math] Вообщем такое дело, что этот пример решен при использовании следующего тождества [math]Im(e^{in\alpha})=sinn\alpha[/math]. Интересно, можно ли его решить каким-нибудь другим способом, не используя ТФКП. |
|
| Автор: | Andy [ 14 сен 2014, 15:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
RikkiTan1, может быть, попробуйте сравнить данный ряд с рядом [math]q+q^2+q^3+...+q^n+...~.[/math] |
|
| Автор: | RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 16:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
Так. Если сравнивать исходный ряд с рядом [math]q+q^2+q^3+...+q^n+...[/math], который сходится тогда и только тогда, когда [math]|q|<1[/math], то можем получить, что ряд [math]q\sin\alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^nsinn\alpha+...[/math] уже точно сходится при [math]|q|<1[/math]. Останется еще доказать, что ряд сходится при любом таком [math]q[/math]. Но это будет доказательство при помощи признака сравнения. А в задании необходимо показать, что n-ая частичная сумма стремится к конечному пределу. Вообщем, надо как-то вывести формулу для этой суммы. |
|
| Автор: | Andy [ 14 сен 2014, 16:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
RikkiTan1, то есть Вы хотите найти выражение типа [math]S_n(n,~\sin\alpha)[/math]? |
|
| Автор: | RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 17:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
То есть мне необходимо доказать по определению, что ряд сходится. Если n-ая частичная сумма обозначается так [math]S_n(n,\sin\alpha)[/math] то - да, мне нужно такое выражение. Мы просто писали [math]S_n[/math]. |
|
| Автор: | Andy [ 14 сен 2014, 17:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
RikkiTan1, а какое определение сходимости ряда Вы используете?
|
|
| Автор: | RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 17:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность {[math]S_n[/math]} частичных сумм этого ряда. При этом предел S указанной последовательности {[math]{S_n}[/math]} называется суммой ряда. Во, этим) |
|
| Автор: | Andy [ 14 сен 2014, 17:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
RikkiTan1, значит, нужно решить проблему, как быть, если ряд с общим членом [math]a_n=\sin{n\alpha}[/math] не сходится? |
|
| Автор: | RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 17:44 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
Если делать через мнимую часть, то получается, что-то вроде такого [math]S_n=Im(\frac{qe^{i\alpha}(1-(qe^{i\alpha})^n)}{1-qe^{i\alpha}})[/math] А предел [math]\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{q\cos\alpha-q^2}{1-2q\cos\alpha+q^2}[/math] Вполне конечный предел, значит ряд сходится. |
|
| Автор: | RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 17:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость непосредственно |
А ряд [math]a_n=\sin{n\alpha}[/math] не сходится, потому что общий член ряда не стремится к нулю? Можно умножить на бесконечно малую, и получим произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, что даёт бесконечно малую последовательность. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|