Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сходимость непосредственно
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=35540
Страница 1 из 2

Автор:  RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 14:30 ]
Заголовок сообщения:  Сходимость непосредственно

Доброго времени суток! Необходимо доказать непосредственно сходимость ряда
[math]q\sin\alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^nsinn\alpha+...[/math]

Вообщем такое дело, что этот пример решен при использовании следующего тождества [math]Im(e^{in\alpha})=sinn\alpha[/math].
Интересно, можно ли его решить каким-нибудь другим способом, не используя ТФКП.

Автор:  Andy [ 14 сен 2014, 15:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

RikkiTan1, может быть, попробуйте сравнить данный ряд с рядом [math]q+q^2+q^3+...+q^n+...~.[/math]

Автор:  RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 16:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

Так. Если сравнивать исходный ряд с рядом [math]q+q^2+q^3+...+q^n+...[/math], который сходится тогда и только тогда, когда [math]|q|<1[/math], то можем получить, что ряд [math]q\sin\alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^nsinn\alpha+...[/math] уже точно сходится при [math]|q|<1[/math]. Останется еще доказать, что ряд сходится при любом таком [math]q[/math]. Но это будет доказательство при помощи признака сравнения. А в задании необходимо показать, что n-ая частичная сумма стремится к конечному пределу. Вообщем, надо как-то вывести формулу для этой суммы.

Автор:  Andy [ 14 сен 2014, 16:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

RikkiTan1, то есть Вы хотите найти выражение типа [math]S_n(n,~\sin\alpha)[/math]?

Автор:  RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 17:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

То есть мне необходимо доказать по определению, что ряд сходится. Если n-ая частичная сумма обозначается так [math]S_n(n,\sin\alpha)[/math] то - да, мне нужно такое выражение. Мы просто писали [math]S_n[/math].

Автор:  Andy [ 14 сен 2014, 17:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

RikkiTan1, а какое определение сходимости ряда Вы используете? :)

Автор:  RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 17:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность {[math]S_n[/math]} частичных сумм этого ряда. При этом предел S указанной последовательности {[math]{S_n}[/math]} называется суммой ряда. Во, этим)

Автор:  Andy [ 14 сен 2014, 17:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

RikkiTan1, значит, нужно решить проблему, как быть, если ряд с общим членом [math]a_n=\sin{n\alpha}[/math] не сходится?

Автор:  RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 17:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

Если делать через мнимую часть, то получается, что-то вроде такого
[math]S_n=Im(\frac{qe^{i\alpha}(1-(qe^{i\alpha})^n)}{1-qe^{i\alpha}})[/math]

А предел
[math]\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{q\cos\alpha-q^2}{1-2q\cos\alpha+q^2}[/math]

Вполне конечный предел, значит ряд сходится.

Автор:  RikkiTan1 [ 14 сен 2014, 17:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость непосредственно

А ряд [math]a_n=\sin{n\alpha}[/math] не сходится, потому что общий член ряда не стремится к нулю? Можно умножить на бесконечно малую, и получим произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, что даёт бесконечно малую последовательность.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/