Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 14:30 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Доброго времени суток! Необходимо доказать непосредственно сходимость ряда
[math]q\sin\alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^nsinn\alpha+...[/math]

Вообщем такое дело, что этот пример решен при использовании следующего тождества [math]Im(e^{in\alpha})=sinn\alpha[/math].
Интересно, можно ли его решить каким-нибудь другим способом, не используя ТФКП.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 15:21 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
RikkiTan1, может быть, попробуйте сравнить данный ряд с рядом [math]q+q^2+q^3+...+q^n+...~.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 16:48 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Так. Если сравнивать исходный ряд с рядом [math]q+q^2+q^3+...+q^n+...[/math], который сходится тогда и только тогда, когда [math]|q|<1[/math], то можем получить, что ряд [math]q\sin\alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^nsinn\alpha+...[/math] уже точно сходится при [math]|q|<1[/math]. Останется еще доказать, что ряд сходится при любом таком [math]q[/math]. Но это будет доказательство при помощи признака сравнения. А в задании необходимо показать, что n-ая частичная сумма стремится к конечному пределу. Вообщем, надо как-то вывести формулу для этой суммы.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 16:56 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
RikkiTan1, то есть Вы хотите найти выражение типа [math]S_n(n,~\sin\alpha)[/math]?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 17:16 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
То есть мне необходимо доказать по определению, что ряд сходится. Если n-ая частичная сумма обозначается так [math]S_n(n,\sin\alpha)[/math] то - да, мне нужно такое выражение. Мы просто писали [math]S_n[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 17:23 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
RikkiTan1, а какое определение сходимости ряда Вы используете? :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 17:29 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность {[math]S_n[/math]} частичных сумм этого ряда. При этом предел S указанной последовательности {[math]{S_n}[/math]} называется суммой ряда. Во, этим)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 17:41 
Не в сети
Любитель математики
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
16 июл 2011, 08:33
Сообщений: 22355
Откуда: Беларусь, Минск
Cпасибо сказано: 2110
Спасибо получено:
4978 раз в 4650 сообщениях
Очков репутации: 845

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
RikkiTan1, значит, нужно решить проблему, как быть, если ряд с общим членом [math]a_n=\sin{n\alpha}[/math] не сходится?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 17:44 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если делать через мнимую часть, то получается, что-то вроде такого
[math]S_n=Im(\frac{qe^{i\alpha}(1-(qe^{i\alpha})^n)}{1-qe^{i\alpha}})[/math]

А предел
[math]\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{q\cos\alpha-q^2}{1-2q\cos\alpha+q^2}[/math]

Вполне конечный предел, значит ряд сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость непосредственно
СообщениеДобавлено: 14 сен 2014, 17:52 
Не в сети
Начинающий
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
08 дек 2013, 07:45
Сообщений: 45
Откуда: Уфа
Cпасибо сказано: 22
Спасибо получено:
1 раз в 1 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
А ряд [math]a_n=\sin{n\alpha}[/math] не сходится, потому что общий член ряда не стремится к нулю? Можно умножить на бесконечно малую, и получим произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, что даёт бесконечно малую последовательность.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю RikkiTan1 "Спасибо" сказали:
Andy
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Криволинейный интеграл непосредственно

в форуме Интегральное исчисление

Ryslannn

2

150

29 ноя 2017, 11:51

Найти циркуляцию непосредственно

в форуме Интегральное исчисление

AnnaV

6

640

22 окт 2016, 00:49

Непосредственно из определения предела функции доказать

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Anhelius

2

116

29 окт 2021, 13:37

Непосредственно вычислить поток векторного поля

в форуме Интегральное исчисление

fffffffff

0

161

30 апр 2022, 14:20

Найти поток вектора (решить непосредственно)

в форуме Векторный анализ и Теория поля

KLANFONTAN

1

515

27 окт 2017, 22:59

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

195

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

2

220

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

185

01 ноя 2021, 09:12

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

207

01 ноя 2021, 09:13

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

179

01 ноя 2021, 09:11


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved