Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| RikkiTan1 |
|
|
|
[math]q\sin\alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^nsinn\alpha+...[/math] Вообщем такое дело, что этот пример решен при использовании следующего тождества [math]Im(e^{in\alpha})=sinn\alpha[/math]. Интересно, можно ли его решить каким-нибудь другим способом, не используя ТФКП. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Andy |
|
|
|
RikkiTan1, может быть, попробуйте сравнить данный ряд с рядом [math]q+q^2+q^3+...+q^n+...~.[/math]
|
||
| Вернуться к началу | ||
| RikkiTan1 |
|
|
|
Так. Если сравнивать исходный ряд с рядом [math]q+q^2+q^3+...+q^n+...[/math], который сходится тогда и только тогда, когда [math]|q|<1[/math], то можем получить, что ряд [math]q\sin\alpha+q^2\sin2\alpha+...+q^nsinn\alpha+...[/math] уже точно сходится при [math]|q|<1[/math]. Останется еще доказать, что ряд сходится при любом таком [math]q[/math]. Но это будет доказательство при помощи признака сравнения. А в задании необходимо показать, что n-ая частичная сумма стремится к конечному пределу. Вообщем, надо как-то вывести формулу для этой суммы.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Andy |
|
|
|
RikkiTan1, то есть Вы хотите найти выражение типа [math]S_n(n,~\sin\alpha)[/math]?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| RikkiTan1 |
|
|
|
То есть мне необходимо доказать по определению, что ряд сходится. Если n-ая частичная сумма обозначается так [math]S_n(n,\sin\alpha)[/math] то - да, мне нужно такое выражение. Мы просто писали [math]S_n[/math].
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Andy |
|
|
|
RikkiTan1, а какое определение сходимости ряда Вы используете?
![]() |
||
| Вернуться к началу | ||
| RikkiTan1 |
|
|
|
Ряд называется сходящимся, если сходится последовательность {[math]S_n[/math]} частичных сумм этого ряда. При этом предел S указанной последовательности {[math]{S_n}[/math]} называется суммой ряда. Во, этим)
|
||
| Вернуться к началу | ||
| Andy |
|
|
|
RikkiTan1, значит, нужно решить проблему, как быть, если ряд с общим членом [math]a_n=\sin{n\alpha}[/math] не сходится?
|
||
| Вернуться к началу | ||
| RikkiTan1 |
|
|
|
Если делать через мнимую часть, то получается, что-то вроде такого
[math]S_n=Im(\frac{qe^{i\alpha}(1-(qe^{i\alpha})^n)}{1-qe^{i\alpha}})[/math] А предел [math]\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{q\cos\alpha-q^2}{1-2q\cos\alpha+q^2}[/math] Вполне конечный предел, значит ряд сходится. |
||
| Вернуться к началу | ||
| RikkiTan1 |
|
|
|
А ряд [math]a_n=\sin{n\alpha}[/math] не сходится, потому что общий член ряда не стремится к нулю? Можно умножить на бесконечно малую, и получим произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, что даёт бесконечно малую последовательность.
|
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю RikkiTan1 "Спасибо" сказали: Andy |
||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |