Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Нахождение области сходимости функционального ряда
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=35363
Страница 1 из 1

Автор:  Wolfling [ 29 авг 2014, 19:08 ]
Заголовок сообщения:  Нахождение области сходимости функционального ряда

Всем добрый день :) Помогите, пожалуйста, с одним нюансом, который я никак не могу понять при изучении решебников по высшей математике. Я имею в виду определение области сходимости произвольного функционального ряда. Вот, например, кусок текста из решебника Зиминой. Она исследует сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x)[/math] и пишет следующее:

Изображение


Однако таким образом мы же применяем признак Даламбера или Коши не к исходному ряду, а ряду из модулей членов исходного ряда, т.е. к ряду [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|f_n(x)|[/math]. Таким образом мы сможем найти область абсолютной сходимости [math]A[/math] ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x)[/math]. Потом, согласно решебнику, исследуем сходимость ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x)[/math] в граничных точках множества [math]A[/math]. Я обозначу множество граничных точек, в которых ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x)[/math] сходится, как [math]B[/math]. И делаем вывод, что ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}f_n(x)[/math] сходится на множестве [math]A\cup B[/math].

Но почему мы не исследуем сходимость в точках множества [math]D\setminus(A\cup B)[/math], где [math]D[/math] - область определения [math]f_n(x)[/math]? Мы ведь не можем гарантировать расходимость ряда в точках этого множества. Или можем? :) Может, есть теорема, которая позволяет обосновать решение, при котором исследование сходимости на множестве [math]D\setminus(A\cup B)[/math] просто отбрасывается?

Автор:  dr Watson [ 30 авг 2014, 06:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение области сходимости функционального ряда

Читайте букварь. Признак Даламбера, аналогично признак Коши.
Внутри интервала сходимости ряд сходится абсолютно, поэтому и исследуем ряд из модулей. Граничные точки исследуются индивидуально (здест признаки Даламбера и Коши отдыхают). Во всех прочих точках ряд расходится.

Автор:  Wolfling [ 30 авг 2014, 08:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение области сходимости функционального ряда

dr Watson писал(а):
Во всех прочих точках ряд расходится.


Мы применяем признак Даламбера к ряду из модулей. И расходиться при значении предела большем единицы будет ряд из модулей. Если ряд из модулей расходится, то в общем случае про сходимость исходного ряда ничего утверждать нельзя, - кроме того, что он не может сходиться абсолютно.

Мне, честно говоря, кажется, что из расходимости ряда модулей в данном случае следует расходимость исходного ряда, но это, по идее, требуется доказать отдельно. Нечто вроде этого: если [math]\forall x\in D\setminus (A\cup B)[/math] имеем [math]\lim_{n\to\infty}\frac{|f_{n+1}(x)|}{|f_n(x)|}>1[/math], то существует такое значение [math]n_0[/math], что для всех номеров [math]n>n_0[/math] верно неравенство [math]\frac{|f_{n+1}(x)|}{|f_n(x)|}>1[/math], откуда [math]|f_{n+1}(x)|>|f_n(x)|[/math]. Отсюда легко показать, что [math]\lim_{n\to\infty}|f_n(x)|\neq 0[/math], откуда последует [math]\lim_{n\to\infty}f_n(x)\neq 0[/math], т.е. исходный ряд также расходится [math]\forall x\in D\setminus (A\cup B)[/math]. Но в литературе почему-то доказательств такого рода я не встречал, поэтому и возник вопрос.

Автор:  dr Watson [ 02 сен 2014, 05:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нахождение области сходимости функционального ряда

Wolfling писал(а):
И расходиться при значении предела большем единицы будет ряд из модулей.

Читайте букварь внимательно - расходиться будет сам ряд.
Если [math]\lim \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|>1[/math], то для достаточно больших [math]n[/math] будет выполняться неравенство [math]|{a_{n+1}|>|a_n|[/math] и, следовательно, не выполнится необходимый признак сходимости.

PS. Поправка. В предыдущем сообщении я говорил про интервал сходимости - это для степенного ряда. В общем случае для функционального надо говорить про область сходимости и, соответственно, вместо концов интервала надо говорить про граничные точки области сходимости.
PPS. Блин, прочитал только цитированное предложение и среагировал только на него. Зачем однако было его писать, если дальнейшее его дезавуирует? Только для того, чтобы отметить, что указанное замечание нигде не встречали? Так оно присутствует во всех учебниках при доказательсте признаков Даламбера и Коши и должно быть усвоено в этот момент. Повторять его в случае функциональных рядов не всякий считает нужным ввиду тривиальности, хотя я не уверен, что об этом хотя бы вскользь не напоминают. Сейчас под рукой нет какого-нибудь учебника, чтобы удостовериться.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/