Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=35122
Страница 1 из 1

Автор:  makc59 [ 22 июл 2014, 22:07 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

Посмотрите пожалуйста, верно ли я решил?
Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math]

В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница
1) Проверка ряда на знакочередование.

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} = - 1 + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{{245}}\][/math]

«Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел
[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}} = 0;\][/math]

Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

[math]\[\frac{1}{{{{(k + 1)}^5} + 2}} < \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math]

, таким образом, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем знакочередующейся ряд на абсолютную сходимость.
Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:

[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math]

Сравним данный ряд со сходящимся рядом [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math]

Используем предельный признак сравнения.

[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{k^5}}}}}{{\frac{1}{{{k^5} + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{k^5} + 2}}{{{k^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left( {1 + \frac{{{2^{ \to 0}}}}{{{k^5}}}} \right) = 1\][/math]

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math]
сходится вместе с рядом

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math]
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Автор:  SzaryWilk [ 23 июл 2014, 15:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

Верно, но лучше сначала исследовать данный ряд (и вообще любой знакочередующийся) на абсолютную сходимость. И только в случае, если ряд не сходится абсолютно, исследуем его с помощью признака Лейбница.
Верная теорема: Eсли знакочередующийся ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/