| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=35122 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | makc59 [ 22 июл 2014, 22:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость |
Посмотрите пожалуйста, верно ли я решил? Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды: [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math] В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница 1) Проверка ряда на знакочередование. [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} = - 1 + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{{245}}\][/math] «Ряд является знакочередующимся». 2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел [math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}} = 0;\][/math] Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: [math]\[\frac{1}{{{{(k + 1)}^5} + 2}} < \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math] , таким образом, убывание монотонно. Вывод: ряд сходится. Исследуем знакочередующейся ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование: [math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math] Сравним данный ряд со сходящимся рядом [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math] Используем предельный признак сравнения. [math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{k^5}}}}}{{\frac{1}{{{k^5} + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{k^5} + 2}}{{{k^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left( {1 + \frac{{{2^{ \to 0}}}}{{{k^5}}}} \right) = 1\][/math] Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math] сходится вместе с рядом [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math] Исследуемый ряд сходится абсолютно. |
|
| Автор: | SzaryWilk [ 23 июл 2014, 15:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость |
Верно, но лучше сначала исследовать данный ряд (и вообще любой знакочередующийся) на абсолютную сходимость. И только в случае, если ряд не сходится абсолютно, исследуем его с помощью признака Лейбница. Верная теорема: Eсли знакочередующийся ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|