Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 июл 2014, 22:07 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите пожалуйста, верно ли я решил?
Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math]

В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница
1) Проверка ряда на знакочередование.

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} = - 1 + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{{245}}\][/math]

«Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел
[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}} = 0;\][/math]

Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

[math]\[\frac{1}{{{{(k + 1)}^5} + 2}} < \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math]

, таким образом, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем знакочередующейся ряд на абсолютную сходимость.
Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:

[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math]

Сравним данный ряд со сходящимся рядом [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math]

Используем предельный признак сравнения.

[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{k^5}}}}}{{\frac{1}{{{k^5} + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{k^5} + 2}}{{{k^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left( {1 + \frac{{{2^{ \to 0}}}}{{{k^5}}}} \right) = 1\][/math]

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math]
сходится вместе с рядом

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math]
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость
СообщениеДобавлено: 23 июл 2014, 15:29 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 00:18
Сообщений: 575
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 69
Спасибо получено:
576 раз в 390 сообщениях
Очков репутации: 265

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Верно, но лучше сначала исследовать данный ряд (и вообще любой знакочередующийся) на абсолютную сходимость. И только в случае, если ряд не сходится абсолютно, исследуем его с помощью признака Лейбница.
Верная теорема: Eсли знакочередующийся ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
makc59
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

в форуме Ряды

Tom18

1

401

25 май 2021, 13:49

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

Ksusha11111

5

734

14 июн 2015, 12:26

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

missb

14

1520

15 май 2014, 17:36

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

в форуме Ряды

Tom18

1

442

25 май 2021, 13:50

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

в форуме Ряды

tagor

9

605

17 апр 2019, 00:43

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

karastia_13

1

308

15 мар 2018, 16:31

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

dwarf2100

2

236

13 июн 2020, 11:52

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

cubicglobe

12

516

22 ноя 2022, 19:33

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

в форуме Интегральное исчисление

Zqquiet

0

379

21 май 2021, 12:37

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

351w

6

262

24 май 2020, 09:20


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 16


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved