Дискуссионный математический форумМатематический форум

Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]
MathHelpPlanet.com RSS-лента Математического форума

Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость
СообщениеДобавлено: 22 июл 2014, 23:07 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 15:37
Сообщений: 115
Cпасибо сказано: 25
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Посмотрите пожалуйста, верно ли я решил?
Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math]

В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница
1) Проверка ряда на знакочередование.

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} = - 1 + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{{245}}\][/math]

«Ряд является знакочередующимся».
2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел
[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}} = 0;\][/math]

Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

[math]\[\frac{1}{{{{(k + 1)}^5} + 2}} < \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math]

, таким образом, убывание монотонно.
Вывод: ряд сходится.
Исследуем знакочередующейся ряд на абсолютную сходимость.
Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование:

[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math]

Сравним данный ряд со сходящимся рядом [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math]

Используем предельный признак сравнения.

[math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{k^5}}}}}{{\frac{1}{{{k^5} + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{k^5} + 2}}{{{k^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left( {1 + \frac{{{2^{ \to 0}}}}{{{k^5}}}} \right) = 1\][/math]

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math]
сходится вместе с рядом

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math]
Исследуемый ряд сходится абсолютно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость
СообщениеДобавлено: 23 июл 2014, 16:29 
Не в сети
Гений
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
31 авг 2011, 01:18
Сообщений: 557
Откуда: Краков, Польша
Cпасибо сказано: 63
Спасибо получено:
566 раз в 381 сообщениях
Очков репутации: 263

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Верно, но лучше сначала исследовать данный ряд (и вообще любой знакочередующийся) на абсолютную сходимость. И только в случае, если ряд не сходится абсолютно, исследуем его с помощью признака Лейбница.
Верная теорема: Eсли знакочередующийся ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали:
makc59
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на абсолютную или условную сходимость

в форуме Ряды

Aida

3

331

10 дек 2013, 21:54

Исследовать на абсолютную (условную) сходимость

в форуме Ряды

Harei

5

511

15 май 2013, 14:38

Исследовать на абсолютную или условную сходимость

в форуме Ряды

Aleksa23

2

403

13 дек 2011, 19:13

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

Ksusha11111

5

358

14 июн 2015, 13:26

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

PIMP

1

190

20 янв 2016, 12:47

Исследовать на абсолютную и условную сходимость.

в форуме Ряды

WhiteSparrow

4

417

13 дек 2011, 23:43

Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд

в форуме Ряды

maggy23cherry

1

261

20 дек 2013, 19:56

Исследовать на условную и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

Laind

1

25

Вчера, 16:18

Исследовать на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

BlackShtorm

5

607

04 июн 2012, 13:05

Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость

в форуме Ряды

Meteri

1

422

04 мар 2013, 16:44


Часовой пояс: UTC + 4 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2016 MathHelpPlanet.com. All rights reserved