Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
Автор | Сообщение | |
---|---|---|
makc59 |
|
|
Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды: [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math] В общий член ряда входит множитель , а значит, нужно использовать признак Лейбница 1) Проверка ряда на знакочередование. [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} = - 1 + \frac{1}{{34}} - \frac{1}{{245}}\][/math] «Ряд является знакочередующимся». 2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел [math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}} = 0;\][/math] Члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий: [math]\[\frac{1}{{{{(k + 1)}^5} + 2}} < \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math] , таким образом, убывание монотонно. Вывод: ряд сходится. Исследуем знакочередующейся ряд на абсолютную сходимость. Составим ряд из модулей – опять просто убираем множитель, который обеспечивает знакочередование: [math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left| {{a_k}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{1}{{{k^5} + 2}}\][/math] Сравним данный ряд со сходящимся рядом [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math] Используем предельный признак сравнения. [math]\[\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{k^5}}}}}{{\frac{1}{{{k^5} + 2}}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{k^5} + 2}}{{{k^5}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left( {1 + \frac{{{2^{ \to 0}}}}{{{k^5}}}} \right) = 1\][/math] Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{{k^5} + 2}}} \][/math] сходится вместе с рядом [math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{k^5}}}} \][/math] Исследуемый ряд сходится абсолютно. |
||
Вернуться к началу | ||
SzaryWilk |
|
|
Верно, но лучше сначала исследовать данный ряд (и вообще любой знакочередующийся) на абсолютную сходимость. И только в случае, если ряд не сходится абсолютно, исследуем его с помощью признака Лейбница.
Верная теорема: Eсли знакочередующийся ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно. |
||
Вернуться к началу | ||
За это сообщение пользователю SzaryWilk "Спасибо" сказали: makc59 |
||
[ Сообщений: 2 ] |
Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
---|---|---|---|---|
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
в форуме Ряды |
1 |
401 |
25 май 2021, 13:49 |
|
Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость
в форуме Ряды |
5 |
734 |
14 июн 2015, 12:26 |
|
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
в форуме Ряды |
14 |
1520 |
15 май 2014, 17:36 |
|
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
в форуме Ряды |
1 |
442 |
25 май 2021, 13:50 |
|
Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
в форуме Ряды |
9 |
605 |
17 апр 2019, 00:43 |
|
Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость
в форуме Ряды |
1 |
308 |
15 мар 2018, 16:31 |
|
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
в форуме Ряды |
2 |
236 |
13 июн 2020, 11:52 |
|
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
в форуме Ряды |
12 |
516 |
22 ноя 2022, 19:33 |
|
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
в форуме Интегральное исчисление |
0 |
379 |
21 май 2021, 12:37 |
|
Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость
в форуме Ряды |
6 |
262 |
24 май 2020, 09:20 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 24 |
Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |