Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=35110
Страница 1 из 2

Автор:  makc59 [ 22 июл 2014, 12:00 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на сходимость

Цитата:
Заголовок: Исследовать на сходимость

makc59 писал(а):
Исследовать на сходимость

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left( {5k} \right)!}}{{{3^k} + 1}}} \][/math]
В общий член ряда входит и степень, и факториал. Здесь надо использовать признак Даламбера.
[math]$$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{{\left( {5k + 1} \right)!}}{{{3^{k + 1}} + 1}}}}{{\frac{{\left( {5k} \right)!}}{{{3^k} + 1}}}}$$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot (\left( {5k + 1} \right)!)}}{{ \cdot ({3^{k + 1}} + 1) \cdot \left( {5k} \right)!}}$$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left( {5k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left( {5k} \right)}} = $$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot \left( {5k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot \left( {5k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}}$$[/math]
Подскажите пожалуйста окончание решения. И верно ли я сделал. Что то не получается

Автор:  dobby [ 22 июл 2014, 12:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

[math]f(k)=(5k)!,\ f(k+1)=(5(k+1))!=(5k+5)!.[/math]

Автор:  makc59 [ 22 июл 2014, 13:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Спасибо! Поправил, но до конца не могу решить
[math]$$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{{\left( {5k + 5} \right)!}}{{{3^{k + 1}} + 1}}}}{{\frac{{\left( {5k} \right)!}}{{{3^k} + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot (\left( {5k + 5} \right)!)}}{{ \cdot ({3^{k + 1}} + 1) \cdot \left( {5k} \right)!}}$$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left( {5k + 5} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left( {5k} \right)}} = $$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot \left( {5k + 5} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{5({3^k} + 1) \cdot \left( {k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}} = 5\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot \left( {k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}} = $$[/math]

Автор:  makc59 [ 23 июл 2014, 10:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

[math]\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\frac{{\left({5k + 5}\right)!}}{{{3^{k + 1}}+ 1}}}}{{\frac{{\left({5k}\right)!}}{{{3^k}+ 1}}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot (\left({5k + 5}\right)!)}}{{\cdot ({3^{k + 1}}+ 1) \cdot \left({5k}\right)!}}[/math]
[math]= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left({5k}\right)}}=[/math]
[math]\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{5({3^k}+ 1) \cdot \left({k + 1}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}=[/math]
[math]5\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot \left({k + 1}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}= 5\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\left({k + 1}\right)}}{{({3^k}+ 1)}}< 0[/math]
Ряд сходится

Автор:  victor1111 [ 23 июл 2014, 11:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

makc59 писал(а):
[math]\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\frac{{\left({5k + 5}\right)!}}{{{3^{k + 1}}+ 1}}}}{{\frac{{\left({5k}\right)!}}{{{3^k}+ 1}}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot (\left({5k + 5}\right)!)}}{{\cdot ({3^{k + 1}}+ 1) \cdot \left({5k}\right)!}}[/math]
[math]= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left({5k}\right)}}=[/math]
[math]= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{5({3^k}+ 1) \cdot \left({k + 1}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}=[/math]
[math]= 5\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot \left({k + 1}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}= 5\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\left({k + 1}\right)}}{{({3^k}+ 1)}}< 0[/math]
Ряд сходится

<0 ?.

Автор:  makc59 [ 23 июл 2014, 11:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

=0 и ряд сходится. Так?

Автор:  makc59 [ 23 июл 2014, 13:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Переделал.
[math]\begin{gathered}\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\frac{{\left({5k + 5}\right)!}}{{{3^{k + 1}}+ 1}}}}{{\frac{{\left({5k}\right)!}}{{{3^k}+ 1}}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot (\left({5k + 5}\right)!)}}{{\cdot ({3^{k + 1}}+ 1) \cdot \left({5k}\right)!}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left({5k}\right)}}= \hfill \\ = \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\left({5k + 1}\right) \cdot \left({5k + 5}\right) \cdot \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{1 + \frac{1}{{{3^k}}}}}{{3 + \frac{1}{{{3^k}}}}}= \infty \cdot \frac{1}{3}= \infty > 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Ряд расходится
Посмотрите пожалуйста сейчас верно?

Автор:  victor1111 [ 23 июл 2014, 14:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

makc59 писал(а):
Переделал.
[math]\begin{gathered}\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\frac{{\left({5k + 5}\right)!}}{{{3^{k + 1}}+ 1}}}}{{\frac{{\left({5k}\right)!}}{{{3^k}+ 1}}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot (\left({5k + 5}\right)!)}}{{\cdot ({3^{k + 1}}+ 1) \cdot \left({5k}\right)!}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left({5k}\right)}}= \hfill \\ = \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\left({5k + 1}\right) \cdot \left({5k + 5}\right) \cdot \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{1 + \frac{1}{{{3^k}}}}}{{3 + \frac{1}{{{3^k}}}}}= \infty \cdot \frac{1}{3}= \infty > 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Ряд расходится
Посмотрите пожалуйста сейчас верно?

(5k+1)?.

Автор:  makc59 [ 24 июл 2014, 06:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

И как же тогда записать, где ошибка?

Автор:  victor1111 [ 24 июл 2014, 08:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

makc59 писал(а):
И как же тогда записать, где ошибка?

Распишите (5k+5)!.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/