Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 22 июл 2014, 12:00 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Заголовок: Исследовать на сходимость

makc59 писал(а):
Исследовать на сходимость

[math]\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{{\left( {5k} \right)!}}{{{3^k} + 1}}} \][/math]
В общий член ряда входит и степень, и факториал. Здесь надо использовать признак Даламбера.
[math]$$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{{\left( {5k + 1} \right)!}}{{{3^{k + 1}} + 1}}}}{{\frac{{\left( {5k} \right)!}}{{{3^k} + 1}}}}$$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot (\left( {5k + 1} \right)!)}}{{ \cdot ({3^{k + 1}} + 1) \cdot \left( {5k} \right)!}}$$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left( {5k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left( {5k} \right)}} = $$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot \left( {5k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot \left( {5k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}}$$[/math]
Подскажите пожалуйста окончание решения. И верно ли я сделал. Что то не получается

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 22 июл 2014, 12:09 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 янв 2014, 15:52
Сообщений: 494
Откуда: Hogwarts
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
143 раз в 130 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]f(k)=(5k)!,\ f(k+1)=(5(k+1))!=(5k+5)!.[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 22 июл 2014, 13:41 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо! Поправил, но до конца не могу решить
[math]$$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{\frac{{\left( {5k + 5} \right)!}}{{{3^{k + 1}} + 1}}}}{{\frac{{\left( {5k} \right)!}}{{{3^k} + 1}}}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot (\left( {5k + 5} \right)!)}}{{ \cdot ({3^{k + 1}} + 1) \cdot \left( {5k} \right)!}}$$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left( {5k + 5} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left( {5k} \right)}} = $$[/math]
[math]$$ = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot \left( {5k + 5} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{5({3^k} + 1) \cdot \left( {k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}} = 5\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \frac{{({3^k} + 1) \cdot \left( {k + 1} \right)}}{{({3^{k + 1}} + 1)}} = $$[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 23 июл 2014, 10:22 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
[math]\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\frac{{\left({5k + 5}\right)!}}{{{3^{k + 1}}+ 1}}}}{{\frac{{\left({5k}\right)!}}{{{3^k}+ 1}}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot (\left({5k + 5}\right)!)}}{{\cdot ({3^{k + 1}}+ 1) \cdot \left({5k}\right)!}}[/math]
[math]= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left({5k}\right)}}=[/math]
[math]\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{5({3^k}+ 1) \cdot \left({k + 1}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}=[/math]
[math]5\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot \left({k + 1}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}= 5\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\left({k + 1}\right)}}{{({3^k}+ 1)}}< 0[/math]
Ряд сходится


Последний раз редактировалось makc59 23 июл 2014, 11:15, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 23 июл 2014, 11:14 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
makc59 писал(а):
[math]\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\frac{{\left({5k + 5}\right)!}}{{{3^{k + 1}}+ 1}}}}{{\frac{{\left({5k}\right)!}}{{{3^k}+ 1}}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot (\left({5k + 5}\right)!)}}{{\cdot ({3^{k + 1}}+ 1) \cdot \left({5k}\right)!}}[/math]
[math]= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left({5k}\right)}}=[/math]
[math]= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{5({3^k}+ 1) \cdot \left({k + 1}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}=[/math]
[math]= 5\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot \left({k + 1}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1)}}= 5\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\left({k + 1}\right)}}{{({3^k}+ 1)}}< 0[/math]
Ряд сходится

<0 ?.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 23 июл 2014, 11:23 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
=0 и ряд сходится. Так?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 23 июл 2014, 13:52 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Переделал.
[math]\begin{gathered}\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\frac{{\left({5k + 5}\right)!}}{{{3^{k + 1}}+ 1}}}}{{\frac{{\left({5k}\right)!}}{{{3^k}+ 1}}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot (\left({5k + 5}\right)!)}}{{\cdot ({3^{k + 1}}+ 1) \cdot \left({5k}\right)!}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left({5k}\right)}}= \hfill \\ = \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\left({5k + 1}\right) \cdot \left({5k + 5}\right) \cdot \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{1 + \frac{1}{{{3^k}}}}}{{3 + \frac{1}{{{3^k}}}}}= \infty \cdot \frac{1}{3}= \infty > 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Ряд расходится
Посмотрите пожалуйста сейчас верно?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 23 июл 2014, 14:09 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
makc59 писал(а):
Переделал.
[math]\begin{gathered}\mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{{a_{n + 1}}}}{{{a_n}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{\frac{{\left({5k + 5}\right)!}}{{{3^{k + 1}}+ 1}}}}{{\frac{{\left({5k}\right)!}}{{{3^k}+ 1}}}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot (\left({5k + 5}\right)!)}}{{\cdot ({3^{k + 1}}+ 1) \cdot \left({5k}\right)!}}= \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{({3^k}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n \cdot 5k \cdot \left({5k + 5}\right)}}{{({3^{k + 1}}+ 1) \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3... \cdot n\left({5k}\right)}}= \hfill \\ = \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\left({5k + 1}\right) \cdot \left({5k + 5}\right) \cdot \mathop{\lim}\limits_{k \to \infty}\frac{{1 + \frac{1}{{{3^k}}}}}{{3 + \frac{1}{{{3^k}}}}}= \infty \cdot \frac{1}{3}= \infty > 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math]
Ряд расходится
Посмотрите пожалуйста сейчас верно?

(5k+1)?.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 24 июл 2014, 06:38 
Не в сети
Одарённый
Зарегистрирован:
07 фев 2014, 14:37
Сообщений: 157
Cпасибо сказано: 38
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 0

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
И как же тогда записать, где ошибка?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость
СообщениеДобавлено: 24 июл 2014, 08:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
07 авг 2013, 15:21
Сообщений: 1027
Откуда: г. Липецк
Cпасибо сказано: 190
Спасибо получено:
126 раз в 118 сообщениях
Очков репутации: 16

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
makc59 писал(а):
И как же тогда записать, где ошибка?

Распишите (5k+5)!.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 14 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на сходимость и равномерную сходимость послед

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

STARKENNY

1

749

27 дек 2015, 11:45

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

195

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

207

01 ноя 2021, 09:13

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

2

220

01 ноя 2021, 09:16

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

185

01 ноя 2021, 09:12

Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

belke

1

179

01 ноя 2021, 09:11

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

ArinaGross

0

240

21 дек 2018, 12:19

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость ряд

в форуме Объявления участников Форума

neotouch

5

448

08 дек 2022, 15:35

Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость

в форуме Ряды

stanleykubrick

2

208

07 фев 2020, 00:35

Исследовать на сходимость ряд

в форуме Ряды

Dasha138

2

420

04 июн 2015, 22:57


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved