Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Функциональный ряд
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=34948
Страница 1 из 1

Автор:  champion12 [ 05 июл 2014, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Функциональный ряд

Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей, там в конце не получается..

Исследовать сходимость, равномерную сходимость.

[math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;\alpha>0[/math]

При [math]\alpha>1[/math] все понятно. По предельному признаку сравнения, общий член ряда [math]\ln\left(1+\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)[/math] ведет себя также как [math]\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)[/math]
А ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;\alpha>1[/math] сходится равномерно, так как [math]\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)\leqslant \left(\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)[/math], а ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)[/math] сходится при [math]\alpha>1[/math] по интегральному признаку сравнения, тогда ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;\alpha>1[/math]сходится равномерно по признаку вейештрасса, а значит и исходный ряд сходится равномерно при [math]\alpha>1[/math], а раз сходится равномерно, то и поточечно сходится при [math]\alpha>1[/math].

При [math]0<\alpha\leqslant 1[/math] ряд сходится поточечно.

[math]$\ln\left(1+\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)=\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}+O\left(\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right)$[/math]

Ряд [math]$O\left(\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right)$[/math] сходится абсолютно, так как [math]$\left|\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right|\le \dfrac{C}{n^2}$[/math]

Ряд [math]$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(nx_0)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}$[/math] сходится по Дирихле для любого [math]x_0[/math], так как:

1) [math]\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}=0[/math]

2)
[math]\left|\sum\limits_{n=1}^k \sin(nx_0)\right|=\left|\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(kx)\right|=\Biggl|\dfrac{\sin\left(\frac{(k+1)x_0}{2}\right)\sin\left(\frac{(k-1)x_0}{2}\right)}{2\sin\frac{x_0}{2}}} \Biggl|\leqslant \left| \dfrac{1}{2\sin\frac{x_0}{2}}\right|[/math]


Но как исследовать равномерную сходимость при [math]0<\alpha\leqslant 1[/math] -- нужно ее наличие доказывать или отсутствие?

Автор:  champion12 [ 07 июл 2014, 17:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функциональный ряд

Вопрос интересен сам по себе. То есть актуален он все еще.

Автор:  Radley [ 08 июл 2014, 08:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функциональный ряд

А разве по признаку Дирихле нет равномерной сходимости для всех [math]\alpha[/math] из заданного интервала? И ограниченность суммы синусов имеется, и монотонная убываемость другого множителя.

Автор:  champion12 [ 08 июл 2014, 16:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функциональный ряд

Radley писал(а):
А разве по признаку Дирихле нет равномерной сходимости для всех [math]\alpha[/math] из заданного интервала? И ограниченность суммы синусов имеется, и монотонная убываемость другого множителя.

Для равномерной сходимости нужна равномерная ограниченность. А как тут равномерно ограничить?

Автор:  Prokop [ 09 июл 2014, 19:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функциональный ряд

Для использования признака Дирихле Вы можете использовать равномерную ограниченность частичных сумм ряда
[math]\sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{ \sin{n x} }{ n }[/math]

Автор:  champion12 [ 10 июл 2014, 16:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функциональный ряд

Prokop писал(а):
Для использования признака Дирихле Вы можете использовать равномерную ограниченность частичных сумм ряда
[math]\sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{ \sin{n x} }{ n }[/math]

Это я понимаю, но пока не могу представить -- чем можно равномерно ограничить.

Автор:  Prokop [ 10 июл 2014, 21:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Функциональный ряд

Посмотрите, например, страничку
http://www.math24.ru/convergence-of-fourier-series.html
Там есть пример 5, из которого можно получить решение Вашей проблемы.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/