| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Функциональный ряд http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=34948 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | champion12 [ 05 июл 2014, 14:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Функциональный ряд |
Помогите, пожалуйста, разобраться с задачей, там в конце не получается.. Исследовать сходимость, равномерную сходимость. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;\alpha>0[/math] При [math]\alpha>1[/math] все понятно. По предельному признаку сравнения, общий член ряда [math]\ln\left(1+\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)[/math] ведет себя также как [math]\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)[/math] А ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;\alpha>1[/math] сходится равномерно, так как [math]\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)\leqslant \left(\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)[/math], а ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)[/math] сходится при [math]\alpha>1[/math] по интегральному признаку сравнения, тогда ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;\alpha>1[/math]сходится равномерно по признаку вейештрасса, а значит и исходный ряд сходится равномерно при [math]\alpha>1[/math], а раз сходится равномерно, то и поточечно сходится при [math]\alpha>1[/math]. При [math]0<\alpha\leqslant 1[/math] ряд сходится поточечно. [math]$\ln\left(1+\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)=\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}+O\left(\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right)$[/math] Ряд [math]$O\left(\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right)$[/math] сходится абсолютно, так как [math]$\left|\left(\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right)^2\right|\le \dfrac{C}{n^2}$[/math] Ряд [math]$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(nx_0)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}$[/math] сходится по Дирихле для любого [math]x_0[/math], так как: 1) [math]\lim\limits_{n\to \infty}\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}=0[/math] 2) [math]\left|\sum\limits_{n=1}^k \sin(nx_0)\right|=\left|\sin(x)+\sin(2x)+...+\sin(kx)\right|=\Biggl|\dfrac{\sin\left(\frac{(k+1)x_0}{2}\right)\sin\left(\frac{(k-1)x_0}{2}\right)}{2\sin\frac{x_0}{2}}} \Biggl|\leqslant \left| \dfrac{1}{2\sin\frac{x_0}{2}}\right|[/math] Но как исследовать равномерную сходимость при [math]0<\alpha\leqslant 1[/math] -- нужно ее наличие доказывать или отсутствие? |
|
| Автор: | champion12 [ 07 июл 2014, 17:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Функциональный ряд |
Вопрос интересен сам по себе. То есть актуален он все еще. |
|
| Автор: | Radley [ 08 июл 2014, 08:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Функциональный ряд |
А разве по признаку Дирихле нет равномерной сходимости для всех [math]\alpha[/math] из заданного интервала? И ограниченность суммы синусов имеется, и монотонная убываемость другого множителя. |
|
| Автор: | champion12 [ 08 июл 2014, 16:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Функциональный ряд |
Radley писал(а): А разве по признаку Дирихле нет равномерной сходимости для всех [math]\alpha[/math] из заданного интервала? И ограниченность суммы синусов имеется, и монотонная убываемость другого множителя. Для равномерной сходимости нужна равномерная ограниченность. А как тут равномерно ограничить? |
|
| Автор: | Prokop [ 09 июл 2014, 19:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Функциональный ряд |
Для использования признака Дирихле Вы можете использовать равномерную ограниченность частичных сумм ряда [math]\sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{ \sin{n x} }{ n }[/math] |
|
| Автор: | champion12 [ 10 июл 2014, 16:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Функциональный ряд |
Prokop писал(а): Для использования признака Дирихле Вы можете использовать равномерную ограниченность частичных сумм ряда [math]\sum\limits_{n=2}^{ \infty } \frac{ \sin{n x} }{ n }[/math] Это я понимаю, но пока не могу представить -- чем можно равномерно ограничить. |
|
| Автор: | Prokop [ 10 июл 2014, 21:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Функциональный ряд |
Посмотрите, например, страничку http://www.math24.ru/convergence-of-fourier-series.html Там есть пример 5, из которого можно получить решение Вашей проблемы. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|