Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Продифференцировать ряд
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=34824
Страница 1 из 1

Автор:  Skyfire [ 27 июн 2014, 07:25 ]
Заголовок сообщения:  Продифференцировать ряд

Нужно найти производные первого и второго порядка для ряда следующего вида:
[math]f(x,y) = \sum\limits_{i=1}^{n} ( (x - x_{i})^{2} + (y - y_{i})^{2} )[/math]
где имеем некий набор точек [math]\left( x_{i}, y_{i} \right) \in \mathbb{R}^{2}[/math]

Если я правильно понимаю, то производная ряда это сумма производных каждого его элемента, т.е. имеем
[math]\frac{ df }{ dx } = \sum\limits_{i=1}^{n} (1 - x_{i})^{2}[/math]
и
[math]\frac{ df }{ dy } = \sum\limits_{i=1}^{n} (1 - y_{i})^{2}[/math]
...т.к. x и y обращаются в 1, а слагаемое с другой переменной считается за константу.

Но тогда все производные второго порядка у меня получаются равными 0, потому что эти производные первого порядка уже по сути константы, так как не содержат переменных функции.
Мне кажется, я где-то ошибся) Как найти производные?

Автор:  Ellipsoid [ 27 июн 2014, 08:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Продифференцировать ряд

Во-первых, это не ряд (бесконечная сумма), а сумма (конечная). Во-вторых, рассматривая функцию двух переменных, можно найти частные производные по обеим переменным. Имеем для производной по иксу: [math]\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2 \sum_{I=1}^{n}(x-x_i)(x-x_i)'_x[/math]. Для игрека - аналогично. Вторые производные находим, дифференцируя первые (не все они равны нулю).

Автор:  Skyfire [ 27 июн 2014, 08:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Продифференцировать ряд

Ellipsoid,
спасибо за помощь)

тогда получается, что
[math]\frac{ df }{ dx } (x,y) = -2 \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}(x - x_{i})[/math], так? (аналогично для df/dy)

и производная второй степени равна
[math]\frac{ d^{2}f }{ dx^{2} } = -2 \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}(1 - x_{i})[/math]

..но мне все равно не очень понятно, чему будет равна смешанная производная [math]\frac{ d^{2}f }{ dxdy }[/math], получается, что 0. Наверное, так оно и есть, просто не очень правдоподобно выглядит в рамках задания

Автор:  Ellipsoid [ 27 июн 2014, 09:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Продифференцировать ряд

А откуда взялся минус? Вторые производные, кроме смешанной, равной нулю, равны двум.

Автор:  Skyfire [ 27 июн 2014, 09:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Продифференцировать ряд

Ellipsoid, вы правы, минуса нет, очепятка :) А почему вторые производные равны двум? Ведь при дифференцировании выражения [math]x_{i} (x - x_{i} )[/math] множитель [math]x_{i}[/math] остается, х превращается в 1 и вычитаемое [math]- x_{i}[/math] остается?

Автор:  Ellipsoid [ 27 июн 2014, 13:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Продифференцировать ряд

Откуда берётся данный множитель, если [math]x_i=const[/math]?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/