| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Продифференцировать ряд http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=34824 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Skyfire [ 27 июн 2014, 07:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Продифференцировать ряд |
Нужно найти производные первого и второго порядка для ряда следующего вида: [math]f(x,y) = \sum\limits_{i=1}^{n} ( (x - x_{i})^{2} + (y - y_{i})^{2} )[/math] где имеем некий набор точек [math]\left( x_{i}, y_{i} \right) \in \mathbb{R}^{2}[/math] Если я правильно понимаю, то производная ряда это сумма производных каждого его элемента, т.е. имеем [math]\frac{ df }{ dx } = \sum\limits_{i=1}^{n} (1 - x_{i})^{2}[/math] и [math]\frac{ df }{ dy } = \sum\limits_{i=1}^{n} (1 - y_{i})^{2}[/math] ...т.к. x и y обращаются в 1, а слагаемое с другой переменной считается за константу. Но тогда все производные второго порядка у меня получаются равными 0, потому что эти производные первого порядка уже по сути константы, так как не содержат переменных функции. Мне кажется, я где-то ошибся) Как найти производные? |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 27 июн 2014, 08:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Продифференцировать ряд |
Во-первых, это не ряд (бесконечная сумма), а сумма (конечная). Во-вторых, рассматривая функцию двух переменных, можно найти частные производные по обеим переменным. Имеем для производной по иксу: [math]\frac{\partial{f}}{\partial{x}}=2 \sum_{I=1}^{n}(x-x_i)(x-x_i)'_x[/math]. Для игрека - аналогично. Вторые производные находим, дифференцируя первые (не все они равны нулю). |
|
| Автор: | Skyfire [ 27 июн 2014, 08:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Продифференцировать ряд |
Ellipsoid, спасибо за помощь) тогда получается, что [math]\frac{ df }{ dx } (x,y) = -2 \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}(x - x_{i})[/math], так? (аналогично для df/dy) и производная второй степени равна [math]\frac{ d^{2}f }{ dx^{2} } = -2 \sum\limits_{i=1}^{n} x_{i}(1 - x_{i})[/math] ..но мне все равно не очень понятно, чему будет равна смешанная производная [math]\frac{ d^{2}f }{ dxdy }[/math], получается, что 0. Наверное, так оно и есть, просто не очень правдоподобно выглядит в рамках задания |
|
| Автор: | Ellipsoid [ 27 июн 2014, 09:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Продифференцировать ряд |
А откуда взялся минус? Вторые производные, кроме смешанной, равной нулю, равны двум. |
|
| Автор: | Skyfire [ 27 июн 2014, 09:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Продифференцировать ряд |
Ellipsoid, вы правы, минуса нет, очепятка А почему вторые производные равны двум? Ведь при дифференцировании выражения [math]x_{i} (x - x_{i} )[/math] множитель [math]x_{i}[/math] остается, х превращается в 1 и вычитаемое [math]- x_{i}[/math] остается?
|
|
| Автор: | Ellipsoid [ 27 июн 2014, 13:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Продифференцировать ряд |
Откуда берётся данный множитель, если [math]x_i=const[/math]? |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|