Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Степенной ряд.найти r
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=34772
Страница 1 из 1

Автор:  s9nizhuk [ 25 июн 2014, 03:47 ]
Заголовок сообщения:  Степенной ряд.найти r

Помогите,пожалуйста, не могу вспомнить с какой стороны подобраться к примеру.
Заранее спасибо!
Изображение

Автор:  Ellipsoid [ 25 июн 2014, 05:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Степенной ряд.найти r

Я бы сделал замену [math]\frac{50}{1+r}=t[/math].

Автор:  Avgust [ 25 июн 2014, 09:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Степенной ряд.найти r

Я смог только численно решить, поскольку полином четвертой степени хоть и решается в Maple, но формулы дикие, страниц на 10. Воспользовался методом итерации Ньютона. Для этого привел уравнение к общему знаменателю и получил числитель:

[math]80 r^4+300 r^3+383 r^2+161 r-25=0[/math]

Итерационная формула Ньютона

[math]r_{n+1}=r_n-\frac{80 r_n^4+300 r_n^3+383 r_n^2+161 r_n-25}{320 r_n^3+900 r_n^2+766 r_n+161}[/math]

Программа в Yabasic:

open #1,"Newton2.txt","w"
r0=1
print #1,"r0 = ";:print #1,r0
for i=1 to 10
r1=r0-(80*r0^4+300*r0^3+383*r0^2+161*r0-25)/(320*r0^3+900*r0^2+766*r0+161)
print i,r1
print #1, i using "###",r1 using "###.################"
r0=r1
next i


Здесь найден положительный корень, поскольку начальное r0=1. Процесс итерации:

r0 = 1
1 0.5812761993479274
2 0.3079015793398121
3 0.1647570477811358
4 0.1222003966529908
5 0.1186309344773976
6 0.1186069522365878
7 0.1186069511591609
8 0.1186069511591609
9 0.1186069511591609
10 0.1186069511591609

Последнее число и есть первый корень. Если в проге написать r0=-1, то распечатка поиска второго корня такая:

r0 = -1
1 -1.9199999999999999
2 -1.7581823277854093
3 -1.6893175053373572
4 -1.6775309608345576
5 -1.6772180249336512
6 -1.6772178095101237
7 -1.6772178095100242
8 -1.6772178095100221
9 -1.6772178095100254
10 -1.6772178095100247

Два корня найдены. (График показал, что существуют два корня).
http://www.wolframalpha.com/input/?i=pl ... 0..1000%29

Автор:  s9nizhuk [ 25 июн 2014, 22:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Степенной ряд.найти r

Спасибо большое за предложенные решения!
А есть может вариант для решения без компьютера.

Автор:  Avgust [ 25 июн 2014, 22:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Степенной ряд.найти r

Так метод ньютона вручную можно считать. По формуле, что дал. Точнее на калькуляторе. 4-5 циклов дадут уже приемлемую точность.

[math]r_{n+1}=r_n-\frac{80 r_n^4+300 r_n^3+383 r_n^2+161 r_n-25}{320 r_n^3+900 r_n^2+766 r_n+161}[/math]

Задаетесь начальным значением, например [math]r_0=1[/math], подсчитываете по этой формуле [math]r_1[/math]. Это значение снова подставляете в формулу, получите [math]r_2[/math]. И так далее, пока не стабилизируется результат. Все будет как в первой таблице: [math]r_1\approx 0.581\, ; \, r_2\approx 0.3079\, ; \, r_3\approx 0.16476\, ; \,[/math] и т. д.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/