| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследовать на сходимость http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=34016 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | thesunny [ 02 июн 2014, 15:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Исследовать на сходимость |
Помогите пожалуйста исследовать на сходимость эти 2 ряда! ![]() P.S. 2-ой ряд если и сходится, то только условно, т.к. без знакочередования по признаку сравнения он расходится |
|
| Автор: | Wersel [ 02 июн 2014, 15:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость |
1) Признак сравнения. [math]|\cos^4(n)| \leqslant 1[/math] |
|
| Автор: | Human [ 02 июн 2014, 16:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость |
Wersel писал(а): 1) Признак сравнения. [math]|\cos^4(n)| \leqslant 1[/math] Он ничего не даёт, поскольку гармонический ряд расходится. Есть предложение преобразовать по формулам понижения степени. Тогда ряды для последних двух слагаемых сходятся по признаку Дирихле, а первое слагаемое даёт расходящийся гармонический ряд. Значит и исходный ряд расходится. Во втором признак Лейбница. Стремление конструкции [math]a_n=\frac1{n!}\left(\frac ne\right)^n[/math] к нулю следует из формулы Стирлинга, а монотонное убывание доказывается вручную после вычисления [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/math] с учётом известного неравенства [math]\left(1+\frac1n\right)^n<e[/math]. |
|
| Автор: | thesunny [ 02 июн 2014, 17:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость |
Human писал(а): Wersel писал(а): 1) Признак сравнения. [math]|\cos^4(n)| \leqslant 1[/math] Он ничего не даёт, поскольку гармонический ряд расходится. Есть предложение преобразовать по формулам понижения степени. Тогда ряды для последних двух слагаемых сходятся по признаку Дирихле, а первое слагаемое даёт расходящийся гармонический ряд. Значит и исходный ряд расходится. Во втором признак Лейбница. Стремление конструкции [math]a_n=\frac1{n!}\left(\frac ne\right)^n[/math] к нулю следует из формулы Стирлинга, а монотонное убывание доказывается вручную после вычисления [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/math] с учётом известного неравенства [math]\left(1+\frac1n\right)^n<e[/math]. Спасибо большое! |
|
| Автор: | thesunny [ 03 июн 2014, 19:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость |
Human писал(а): Тогда ряды для последних двух слагаемых сходятся по признаку Дирихле Действительно ли так? разве cos(2n) и cos(4n) - ограниченные совокупности?
|
|
| Автор: | Human [ 03 июн 2014, 21:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость |
thesunny писал(а): Действительно ли так? разве cos(2n) и cos(4n) - ограниченные совокупности? [math]\left|\sum_{k=1}^n\cos\alpha k\right|\leqslant\frac1{\left|\sin\frac{\alpha}2\right|}[/math], если Вы об этом. |
|
| Автор: | thesunny [ 03 июн 2014, 23:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость |
Human писал(а): [math]\left|\sum_{k=1}^n\cos\alpha k\right|\leqslant\frac1{\left|\sin\frac{\alpha}2\right|}[/math], если Вы об этом. Не могли бы пояснить, откуда взялось такое неравенство? |
|
| Автор: | Human [ 04 июн 2014, 10:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость |
Попробуйте сами доказать. Посмотрите последнее сообщение в этой теме. Для косинуса, соответственно, нужно преобразовать произведение синуса и косинуса в разность синусов. |
|
| Автор: | thesunny [ 04 июн 2014, 14:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость |
Human писал(а): Попробуйте сами доказать. Посмотрите последнее сообщение в этой теме. Для косинуса, соответственно, нужно преобразовать произведение синуса и косинуса в разность синусов. Спасибо огромное, все получилось! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|