Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=34016
Страница 1 из 1

Автор:  thesunny [ 02 июн 2014, 15:36 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на сходимость

Помогите пожалуйста исследовать на сходимость эти 2 ряда! :unknown:

Изображение

P.S. 2-ой ряд если и сходится, то только условно, т.к. без знакочередования по признаку сравнения он расходится

Автор:  Wersel [ 02 июн 2014, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

1) Признак сравнения. [math]|\cos^4(n)| \leqslant 1[/math]

Автор:  Human [ 02 июн 2014, 16:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Wersel писал(а):
1) Признак сравнения. [math]|\cos^4(n)| \leqslant 1[/math]


Он ничего не даёт, поскольку гармонический ряд расходится.

Есть предложение преобразовать по формулам понижения степени. Тогда ряды для последних двух слагаемых сходятся по признаку Дирихле, а первое слагаемое даёт расходящийся гармонический ряд. Значит и исходный ряд расходится.

Во втором признак Лейбница. Стремление конструкции [math]a_n=\frac1{n!}\left(\frac ne\right)^n[/math] к нулю следует из формулы Стирлинга, а монотонное убывание доказывается вручную после вычисления [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/math] с учётом известного неравенства [math]\left(1+\frac1n\right)^n<e[/math].

Автор:  thesunny [ 02 июн 2014, 17:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Human писал(а):
Wersel писал(а):
1) Признак сравнения. [math]|\cos^4(n)| \leqslant 1[/math]


Он ничего не даёт, поскольку гармонический ряд расходится.

Есть предложение преобразовать по формулам понижения степени. Тогда ряды для последних двух слагаемых сходятся по признаку Дирихле, а первое слагаемое даёт расходящийся гармонический ряд. Значит и исходный ряд расходится.

Во втором признак Лейбница. Стремление конструкции [math]a_n=\frac1{n!}\left(\frac ne\right)^n[/math] к нулю следует из формулы Стирлинга, а монотонное убывание доказывается вручную после вычисления [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}[/math] с учётом известного неравенства [math]\left(1+\frac1n\right)^n<e[/math].

Спасибо большое!

Автор:  thesunny [ 03 июн 2014, 19:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Human писал(а):
Тогда ряды для последних двух слагаемых сходятся по признаку Дирихле

Действительно ли так? разве cos(2n) и cos(4n) - ограниченные совокупности?
Изображение

Автор:  Human [ 03 июн 2014, 21:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

thesunny писал(а):
Действительно ли так? разве cos(2n) и cos(4n) - ограниченные совокупности?


[math]\left|\sum_{k=1}^n\cos\alpha k\right|\leqslant\frac1{\left|\sin\frac{\alpha}2\right|}[/math], если Вы об этом.

Автор:  thesunny [ 03 июн 2014, 23:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Human писал(а):
[math]\left|\sum_{k=1}^n\cos\alpha k\right|\leqslant\frac1{\left|\sin\frac{\alpha}2\right|}[/math], если Вы об этом.

Не могли бы пояснить, откуда взялось такое неравенство?

Автор:  Human [ 04 июн 2014, 10:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Попробуйте сами доказать. Посмотрите последнее сообщение в этой теме. Для косинуса, соответственно, нужно преобразовать произведение синуса и косинуса в разность синусов.

Автор:  thesunny [ 04 июн 2014, 14:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость

Human писал(а):
Попробуйте сами доказать. Посмотрите последнее сообщение в этой теме. Для косинуса, соответственно, нужно преобразовать произведение синуса и косинуса в разность синусов.

Спасибо огромное, все получилось!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/