Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сходимость ряда из частичных сумм
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=33954
Страница 1 из 1

Автор:  Victor-2978 [ 31 май 2014, 14:29 ]
Заголовок сообщения:  Сходимость ряда из частичных сумм

Тут, наверное, много умных :) Помогите, пожалуйста, с задачей!

Допустим, у нас есть последовательность [math]C_{i}[/math] такая, что

(1) [math]\sum_{i=0}^{\infty}C_i z^i[/math] сходится для [math]|z|\leq 1+\delta[/math] для какого-то [math]\delta > 0[/math].

и

(2) [math]\sum_{i=0}^{\infty}C_i = 0[/math].

Определим [math]\phi_i[/math] как частичную сумму: [math]\phi_i = \sum_{j=0}^{i}C_j[/math].

Правда ли что [math]\sum_{i=0}^{\infty}\phi_i^2 < \infty[/math] ?

Являются ли оба условия необходимыми?

Автор:  Prokop [ 01 июн 2014, 11:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость ряда из частичных сумм

По условию задачи функция [math]f\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{{C_k}{z^k}}[/math] является регулярной в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math].
Далее, для частной суммы используем преобразование Абеля
[math]\sum\limits_{k = 0}^n{{C_k}{z^k}}= \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}{\left({{z^k}-{z^{k + 1}}}\right){\psi _k}}+{z^n}{\psi _n}[/math]
Переходя к пределу по [math]n \to \infty[/math] при [math]\left| z \right| \leqslant 1[/math] с учётом условия (2) задачи, получим
[math]\sum\limits_{k = 0}^\infty{{C_k}{z^k}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{\left({{z^k}-{z^{k + 1}}}\right){\psi _k}}= \left({1 - z}\right)\sum\limits_{k = 0}^\infty{{\psi _k}{z^k}}[/math]
Отсюда следует сходимость и регулярность правой части (в силу аналитического продолжения) в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math].
Далее, согласно условия (2), функция
[math]g\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{{\psi _k}{z^k}}= \frac{{f\left( z \right)}}{{1 - z}}[/math]
является регулярной в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math].
В частности конечен интеграл от квадрата её модуля по единичной окружности, который, в силу равенства Парсеваля, совпадает (с точностью до умножения на константу) с суммой квадратов модулей [math]{{\psi _k}}[/math].

P.S. Возможно, первое условие можно ослабить. Посмотрите пространства Харди [math]H^2[/math].

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/