Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходимость ряда из частичных сумм
СообщениеДобавлено: 31 май 2014, 14:29 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
31 май 2014, 14:23
Сообщений: 1
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Тут, наверное, много умных :) Помогите, пожалуйста, с задачей!

Допустим, у нас есть последовательность [math]C_{i}[/math] такая, что

(1) [math]\sum_{i=0}^{\infty}C_i z^i[/math] сходится для [math]|z|\leq 1+\delta[/math] для какого-то [math]\delta > 0[/math].

и

(2) [math]\sum_{i=0}^{\infty}C_i = 0[/math].

Определим [math]\phi_i[/math] как частичную сумму: [math]\phi_i = \sum_{j=0}^{i}C_j[/math].

Правда ли что [math]\sum_{i=0}^{\infty}\phi_i^2 < \infty[/math] ?

Являются ли оба условия необходимыми?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость ряда из частичных сумм
СообщениеДобавлено: 01 июн 2014, 11:24 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
По условию задачи функция [math]f\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{{C_k}{z^k}}[/math] является регулярной в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math].
Далее, для частной суммы используем преобразование Абеля
[math]\sum\limits_{k = 0}^n{{C_k}{z^k}}= \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}{\left({{z^k}-{z^{k + 1}}}\right){\psi _k}}+{z^n}{\psi _n}[/math]
Переходя к пределу по [math]n \to \infty[/math] при [math]\left| z \right| \leqslant 1[/math] с учётом условия (2) задачи, получим
[math]\sum\limits_{k = 0}^\infty{{C_k}{z^k}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{\left({{z^k}-{z^{k + 1}}}\right){\psi _k}}= \left({1 - z}\right)\sum\limits_{k = 0}^\infty{{\psi _k}{z^k}}[/math]
Отсюда следует сходимость и регулярность правой части (в силу аналитического продолжения) в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math].
Далее, согласно условия (2), функция
[math]g\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{{\psi _k}{z^k}}= \frac{{f\left( z \right)}}{{1 - z}}[/math]
является регулярной в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math].
В частности конечен интеграл от квадрата её модуля по единичной окружности, который, в силу равенства Парсеваля, совпадает (с точностью до умножения на константу) с суммой квадратов модулей [math]{{\psi _k}}[/math].

P.S. Возможно, первое условие можно ослабить. Посмотрите пространства Харди [math]H^2[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 2 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Подсчет частичных сумм алгебрагического ортогонального ряда

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

tmoha

2

381

17 дек 2016, 19:30

Оценка предела последовательности частичных сумм

в форуме Ряды

e7min

3

186

06 сен 2019, 20:31

Построение графика сумм для ряда Фурье

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

paradise

5

2154

03 ноя 2016, 19:06

Два частичных предела

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Rupert Spaira

16

364

12 ноя 2021, 20:47

Множество частичных пределов

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Shi Neko

1

310

17 май 2015, 23:30

Двойной интеграл равен от суммы квадратов частичных производ

в форуме Интегральное исчисление

Lost

1

233

28 апр 2017, 08:15

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Julia1306

2

292

22 мар 2023, 21:15

Сходимость ряда

в форуме Ряды

kesyk

8

493

01 дек 2018, 18:54

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Dasha138

2

316

05 июн 2015, 08:59

Сходимость ряда

в форуме Ряды

Ntallii

6

235

05 окт 2019, 22:58


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved