Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 1 |
[ Сообщений: 2 ] |
|
| Автор | Сообщение | |
|---|---|---|
| Victor-2978 |
|
|
Помогите, пожалуйста, с задачей! Допустим, у нас есть последовательность [math]C_{i}[/math] такая, что (1) [math]\sum_{i=0}^{\infty}C_i z^i[/math] сходится для [math]|z|\leq 1+\delta[/math] для какого-то [math]\delta > 0[/math]. и (2) [math]\sum_{i=0}^{\infty}C_i = 0[/math]. Определим [math]\phi_i[/math] как частичную сумму: [math]\phi_i = \sum_{j=0}^{i}C_j[/math]. Правда ли что [math]\sum_{i=0}^{\infty}\phi_i^2 < \infty[/math] ? Являются ли оба условия необходимыми? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Prokop |
|
|
|
По условию задачи функция [math]f\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{{C_k}{z^k}}[/math] является регулярной в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math].
Далее, для частной суммы используем преобразование Абеля [math]\sum\limits_{k = 0}^n{{C_k}{z^k}}= \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}{\left({{z^k}-{z^{k + 1}}}\right){\psi _k}}+{z^n}{\psi _n}[/math] Переходя к пределу по [math]n \to \infty[/math] при [math]\left| z \right| \leqslant 1[/math] с учётом условия (2) задачи, получим [math]\sum\limits_{k = 0}^\infty{{C_k}{z^k}}= \sum\limits_{k = 0}^\infty{\left({{z^k}-{z^{k + 1}}}\right){\psi _k}}= \left({1 - z}\right)\sum\limits_{k = 0}^\infty{{\psi _k}{z^k}}[/math] Отсюда следует сходимость и регулярность правой части (в силу аналитического продолжения) в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math]. Далее, согласно условия (2), функция [math]g\left( z \right) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{{\psi _k}{z^k}}= \frac{{f\left( z \right)}}{{1 - z}}[/math] является регулярной в круге радиуса [math]1 + \delta[/math], [math]\delta >0[/math]. В частности конечен интеграл от квадрата её модуля по единичной окружности, который, в силу равенства Парсеваля, совпадает (с точностью до умножения на константу) с суммой квадратов модулей [math]{{\psi _k}}[/math]. P.S. Возможно, первое условие можно ослабить. Посмотрите пространства Харди [math]H^2[/math]. |
||
| Вернуться к началу | ||
|
[ Сообщений: 2 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Подсчет частичных сумм алгебрагического ортогонального ряда | 2 |
381 |
17 дек 2016, 19:30 |
|
|
Оценка предела последовательности частичных сумм
в форуме Ряды |
3 |
186 |
06 сен 2019, 20:31 |
|
| Построение графика сумм для ряда Фурье | 5 |
2154 |
03 ноя 2016, 19:06 |
|
|
Два частичных предела
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
16 |
364 |
12 ноя 2021, 20:47 |
|
|
Множество частичных пределов
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
1 |
310 |
17 май 2015, 23:30 |
|
|
Двойной интеграл равен от суммы квадратов частичных производ
в форуме Интегральное исчисление |
1 |
233 |
28 апр 2017, 08:15 |
|
|
Сходимость ряда
в форуме Ряды |
2 |
292 |
22 мар 2023, 21:15 |
|
|
Сходимость ряда
в форуме Ряды |
8 |
493 |
01 дек 2018, 18:54 |
|
|
Сходимость ряда
в форуме Ряды |
2 |
316 |
05 июн 2015, 08:59 |
|
|
Сходимость ряда
в форуме Ряды |
6 |
235 |
05 окт 2019, 22:58 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 3 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |