| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Сходимость ряда абсолютная и условная http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=33772 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | katka_kis [ 27 май 2014, 19:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Сходимость ряда абсолютная и условная |
Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n}\frac{ \sin{ \left(\frac{ 5 \pi }{ 7 } + n\right) } }{ n + 20 }[/math] |
|
| Автор: | Human [ 28 май 2014, 13:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость ряда абсолютная и условная |
[math](-1)^n\frac{\sin{\left(\frac{5\pi}7+n\right)}}{n+20}=\frac{\sin{\left(\frac{5\pi}7+(\pi+1)n\right)}}{n+20}=\sin\frac{5\pi}7\cdot\frac{\cos(\pi+1)n}{n+20}+\cos\frac{5\pi}7\cdot\frac{\sin(\pi+1)n}{n+20}[/math] Ряды для [math]\frac{\cos(\pi+1)n}{n+20}[/math] и [math]\frac{\sin(\pi+1)n}{n+20}[/math] сходятся по признаку Дирихле. Абсолютной сходимости нет по стандартному неравенству [math]\left|\frac{\sin{\left(\frac{5\pi}7+n\right)}}{n+20}\right|\geqslant\frac{\sin^2{\left(\frac{5\pi}7+n\right)}}{n+20}=\frac1{2(n+20)}-\frac{\cos{\left(\frac{10\pi}7+2n\right)}}{2(n+20)}[/math] Первый ряд расходится, а второй сходится по соображениям, аналогичным изложенному выше. |
|
| Автор: | 3D Homer [ 28 май 2014, 14:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость ряда абсолютная и условная |
Human писал(а): Ряды для [math]\frac{\cos(\pi+1)n}{n+20}[/math] и [math]\frac{\sin(\pi+1)n}{n+20}[/math] сходятся по признаку Дирихле. Для этого, кажется, надо доказать, что частичные суммы [math]\sum\sin(\pi+1)n[/math] ограничены? Как это сделать?
|
|
| Автор: | Human [ 28 май 2014, 19:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость ряда абсолютная и условная |
3D Homer писал(а): Как это сделать? Есть два довольно стандартных способа: 1) умножить и разделить на синус половины аргумента (без [math]n[/math]) и преобразовать произведение синусов в разность косинусов. При этом в сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, сократятся. 2) найти сумму комплексных экспонент как сумму геометрической прогрессии и выделить мнимую часть. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|