Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сходимость ряда абсолютная и условная
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=33772
Страница 1 из 1

Автор:  katka_kis [ 27 май 2014, 19:21 ]
Заголовок сообщения:  Сходимость ряда абсолютная и условная

Исследовать ряд на условную и абсолютную сходимость

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }(-1)^{n}\frac{ \sin{ \left(\frac{ 5 \pi }{ 7 } + n\right) } }{ n + 20 }[/math]

Автор:  Human [ 28 май 2014, 13:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость ряда абсолютная и условная

[math](-1)^n\frac{\sin{\left(\frac{5\pi}7+n\right)}}{n+20}=\frac{\sin{\left(\frac{5\pi}7+(\pi+1)n\right)}}{n+20}=\sin\frac{5\pi}7\cdot\frac{\cos(\pi+1)n}{n+20}+\cos\frac{5\pi}7\cdot\frac{\sin(\pi+1)n}{n+20}[/math]

Ряды для [math]\frac{\cos(\pi+1)n}{n+20}[/math] и [math]\frac{\sin(\pi+1)n}{n+20}[/math] сходятся по признаку Дирихле.

Абсолютной сходимости нет по стандартному неравенству

[math]\left|\frac{\sin{\left(\frac{5\pi}7+n\right)}}{n+20}\right|\geqslant\frac{\sin^2{\left(\frac{5\pi}7+n\right)}}{n+20}=\frac1{2(n+20)}-\frac{\cos{\left(\frac{10\pi}7+2n\right)}}{2(n+20)}[/math]

Первый ряд расходится, а второй сходится по соображениям, аналогичным изложенному выше.

Автор:  3D Homer [ 28 май 2014, 14:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость ряда абсолютная и условная

Human писал(а):
Ряды для [math]\frac{\cos(\pi+1)n}{n+20}[/math] и [math]\frac{\sin(\pi+1)n}{n+20}[/math] сходятся по признаку Дирихле.
Для этого, кажется, надо доказать, что частичные суммы [math]\sum\sin(\pi+1)n[/math] ограничены? Как это сделать?

Автор:  Human [ 28 май 2014, 19:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость ряда абсолютная и условная

3D Homer писал(а):
Как это сделать?


Есть два довольно стандартных способа:

1) умножить и разделить на синус половины аргумента (без [math]n[/math]) и преобразовать произведение синусов в разность косинусов. При этом в сумме все слагаемые, кроме первого и последнего, сократятся.

2) найти сумму комплексных экспонент как сумму геометрической прогрессии и выделить мнимую часть.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/