Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Область сходимости
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=32870
Страница 1 из 1

Автор:  UNIQUE [ 28 апр 2014, 13:19 ]
Заголовок сообщения:  Область сходимости

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ n }{ 3^n(n-1)(x-1)^n }[/math]
Определил интервалы сходимости: [math](-\infty;\frac{ 2 }{ 3 } ) \cup (\frac{ 4 }{ 3 };\infty)[/math]
Проверяю концы интервалов. По признаку Даламбера при [math]x=\frac{ 2 }{ 3 }[/math] получил [math]-1[/math], то есть ряд сходится, калькулятор выдаёт обратное.
[math]\lim_{n \to \infty }\frac{ (n+1)3^n(n-1)(-\frac{ 1 }{ 3 } )^n }{n3^{n+1}(n+1-1) (-\frac{ 1 }{ 3 })^{n+1} }=-3\lim_{n \to \infty }\frac{ n^2-1^2}{3n^2 }=-3\frac{ 1 }{ 3 } =-1[/math] Где-то есть ошибка?
При [math]x=\frac{ 4 }{ 3 }[/math] получил [math]1[/math], значит Даламбер мне не поможет, использовать предельный признак сравнения?

Автор:  Wersel [ 28 апр 2014, 13:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости

На вскидку: признак Даламбера используется для рядов с положительными членами, для того, чтобы Ваш ряд при [math]x=\frac{2}{3}[/math] был положительным, минус нужно вынести за знак суммы.

По Даламберу, понятно, что на концах будет единица, так как область-то Вы по нему же находили, ну или по Коши.

На одном из концов ряд будет знакочередующимся - можно посмотреть по признаку Лейбница.

И какой ряд у Вас получился при [math]x=\frac{4}{3}[/math]?

Автор:  Alexdemath [ 28 апр 2014, 13:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости

В точке [math]x=\frac{2}{3}[/math] имеем

[math]a_n= \frac{n}{3^n(n-1)\left(\frac{2}{3}-1\right)^n}= \frac{n}{(-1)^n(n-1)}= \frac{(-1)^nn}{n-1}[/math]

А дальше не выполняется необходимый признак сходимости.

Автор:  UNIQUE [ 28 апр 2014, 15:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости

Wersel писал(а):
И какой ряд у Вас получился при [math]x=\frac{4}{3}[/math]?

Ход был таким же, c 1/3 вместо -1/3.

То есть для [math]x=\frac{2}{3}[/math] достаточно до [math]\frac{(-1)^{-n}n}{n-1}[/math] расписать и на этом остановиться?
Для [math]x=\frac{4}{3}[/math] так записать?
[math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n(n-1)(\frac{ 4 }{ 3 } -1)^n}[/math] [math]\lim_{n \to \infty }\frac{ n }{(n-1)(4-3)^n}=lim_{n \to \infty }\frac{ n }{n-1}=\frac{ \infty }{ \infty } =lim_{n \to \infty }\frac{ 1 }{1-\frac{ 1 }{ n } }=1[/math] - расходится.

Автор:  Wersel [ 28 апр 2014, 15:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Область сходимости

Ряды при [math]x=\frac{2}{3}[/math] и [math]x=\frac{4}{3}[/math] расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости.

Предел можно расписать для одного случая, и сказать, что во втором предел такой же.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/