| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Область сходимости http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=32870 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | UNIQUE [ 28 апр 2014, 13:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Область сходимости |
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ n }{ 3^n(n-1)(x-1)^n }[/math] Определил интервалы сходимости: [math](-\infty;\frac{ 2 }{ 3 } ) \cup (\frac{ 4 }{ 3 };\infty)[/math] Проверяю концы интервалов. По признаку Даламбера при [math]x=\frac{ 2 }{ 3 }[/math] получил [math]-1[/math], то есть ряд сходится, калькулятор выдаёт обратное. [math]\lim_{n \to \infty }\frac{ (n+1)3^n(n-1)(-\frac{ 1 }{ 3 } )^n }{n3^{n+1}(n+1-1) (-\frac{ 1 }{ 3 })^{n+1} }=-3\lim_{n \to \infty }\frac{ n^2-1^2}{3n^2 }=-3\frac{ 1 }{ 3 } =-1[/math] Где-то есть ошибка? При [math]x=\frac{ 4 }{ 3 }[/math] получил [math]1[/math], значит Даламбер мне не поможет, использовать предельный признак сравнения? |
|
| Автор: | Wersel [ 28 апр 2014, 13:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости |
По Даламберу, понятно, что на концах будет единица, так как область-то Вы по нему же находили, ну или по Коши. На одном из концов ряд будет знакочередующимся - можно посмотреть по признаку Лейбница. И какой ряд у Вас получился при [math]x=\frac{4}{3}[/math]? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 28 апр 2014, 13:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости |
В точке [math]x=\frac{2}{3}[/math] имеем [math]a_n= \frac{n}{3^n(n-1)\left(\frac{2}{3}-1\right)^n}= \frac{n}{(-1)^n(n-1)}= \frac{(-1)^nn}{n-1}[/math] А дальше не выполняется необходимый признак сходимости. |
|
| Автор: | UNIQUE [ 28 апр 2014, 15:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости |
Wersel писал(а): И какой ряд у Вас получился при [math]x=\frac{4}{3}[/math]? Ход был таким же, c 1/3 вместо -1/3. То есть для [math]x=\frac{2}{3}[/math] достаточно до [math]\frac{(-1)^{-n}n}{n-1}[/math] расписать и на этом остановиться? Для [math]x=\frac{4}{3}[/math] так записать? [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n}{3^n(n-1)(\frac{ 4 }{ 3 } -1)^n}[/math] [math]\lim_{n \to \infty }\frac{ n }{(n-1)(4-3)^n}=lim_{n \to \infty }\frac{ n }{n-1}=\frac{ \infty }{ \infty } =lim_{n \to \infty }\frac{ 1 }{1-\frac{ 1 }{ n } }=1[/math] - расходится. |
|
| Автор: | Wersel [ 28 апр 2014, 15:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Область сходимости |
Ряды при [math]x=\frac{2}{3}[/math] и [math]x=\frac{4}{3}[/math] расходятся, так как не выполняется необходимое условие сходимости. Предел можно расписать для одного случая, и сказать, что во втором предел такой же. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|