| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследовать по признаку Даламбера или Коши http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=32082 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Alyonka_smile [ 31 мар 2014, 10:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
Помогите исследовать ряд на сходимость по признакам Даламбера или Коши [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ 3 }{ 2n } {\left( \frac{ n+1}{ n } \right) }^{n^{2} }[/math]. Использовать радикальный признак мешает первая дробь , а по Даламбера совсем непонятно... |
|
| Автор: | Yurik [ 31 мар 2014, 11:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{3}{{2n}}{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^{{n^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)^{\frac{1}{n}}}{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)^{\frac{1}{n}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e > 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)^{\frac{1}{n}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\ln \frac{3}{{2n}}}}{n}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - \frac{3}{{2{n^2}}}}}{{\frac{3}{{2n}}}}} \right) = {e^0} = 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | Alyonka_smile [ 31 мар 2014, 11:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
Уважаемый Yurik, расшифруйте, как от логарифма перешли к отрицательной дроби
|
|
| Автор: | Yurik [ 31 мар 2014, 11:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
Берите предел по правилу Лопиталя. |
|
| Автор: | Alyonka_smile [ 31 мар 2014, 11:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
Yurik писал(а): Берите предел по правилу Лопиталя. Как я понимаю, по правилу Лопиталя нужно взять производную от числителя и от знаменателя отдельно [math]\lim_{n \to \infty }\frac{ ln {\frac{ 3 }{ 2n } } }{ n } = \lim_{n \to \infty }\frac{ \frac{ 1 }{ \frac{ 3 }{ 2n } } }{ 1 }= \lim_{n \to \infty }\frac{ 2n}{ 3 }[/math] ????? |
|
| Автор: | Yurik [ 31 мар 2014, 12:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
Не умеете находить производные. [math]\left( {\ln \frac{3}{{2n}}} \right)' = \frac{{\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)'}}{{\frac{3}{{2n}}}} = ...[/math] |
|
| Автор: | Alyonka_smile [ 31 мар 2014, 12:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
И не говорите.... СПАСИБО!!!! |
|
| Автор: | Radley [ 31 мар 2014, 16:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
Цитата: Помогите исследовать ряд на сходимость по признакам Даламбера или Коши . Использовать радикальный признак мешает первая дробь , а по Даламбера совсем непонятно... Признак д'Аламбера после стольких вычислений всё равно дал 1, но это и не требовалось, так как не выполняется необходимый признак сходимости. |
|
| Автор: | Yurik [ 01 апр 2014, 10:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
Radley писал(а): Признак д'Аламбера после стольких вычислений всё равно дал 1, но это и не требовалось, так как не выполняется необходимый признак сходимости. То, что не выполняется необходимый признак сходимости, довольно сложно показать. А признак Даламбера, пожалуйста. [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3 \cdot 2n}}{{3 \cdot 2\left( {n + 1} \right)}}\frac{{{{\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^{{n^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{n + 1}}}}{{{e^n}}} = e > 1[/math] |
|
| Автор: | erjoma [ 01 апр 2014, 11:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши |
Yurik писал(а): Не умеете находить производные. [math]\left( {\ln \frac{3}{{2n}}} \right)' = \frac{{\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)'}}{{\frac{3}{{2n}}}} = ...[/math] [math]n[/math] дискретно и [math]\Delta n \geqslant 1[/math], а по определению производной [math]\Delta n \to 0[/math] |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|