Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать по признаку Даламбера или Коши
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=32082
Страница 1 из 2

Автор:  Alyonka_smile [ 31 мар 2014, 10:53 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать по признаку Даламбера или Коши

Помогите исследовать ряд на сходимость по признакам Даламбера или Коши [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ 3 }{ 2n } {\left( \frac{ n+1}{ n } \right) }^{n^{2} }[/math]. Использовать радикальный признак мешает первая дробь , а по Даламбера совсем непонятно...

Автор:  Yurik [ 31 мар 2014, 11:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

[math]\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{\frac{3}{{2n}}{{\left( {\frac{{n + 1}}{n}} \right)}^{{n^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)^{\frac{1}{n}}}{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)^{\frac{1}{n}}}\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n} = e > 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)^{\frac{1}{n}}} = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{\ln \frac{3}{{2n}}}}{n}} \right) = \exp \left( {\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{ - \frac{3}{{2{n^2}}}}}{{\frac{3}{{2n}}}}} \right) = {e^0} = 1 \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Alyonka_smile [ 31 мар 2014, 11:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

Уважаемый Yurik, расшифруйте, как от логарифма перешли к отрицательной дроби :oops:

Автор:  Yurik [ 31 мар 2014, 11:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

Берите предел по правилу Лопиталя.

Автор:  Alyonka_smile [ 31 мар 2014, 11:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

Yurik писал(а):
Берите предел по правилу Лопиталя.

Как я понимаю, по правилу Лопиталя нужно взять производную от числителя и от знаменателя отдельно
[math]\lim_{n \to \infty }\frac{ ln {\frac{ 3 }{ 2n } } }{ n } = \lim_{n \to \infty }\frac{ \frac{ 1 }{ \frac{ 3 }{ 2n } } }{ 1 }= \lim_{n \to \infty }\frac{ 2n}{ 3 }[/math] ?????

Автор:  Yurik [ 31 мар 2014, 12:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

Не умеете находить производные.
[math]\left( {\ln \frac{3}{{2n}}} \right)' = \frac{{\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)'}}{{\frac{3}{{2n}}}} = ...[/math]

Автор:  Alyonka_smile [ 31 мар 2014, 12:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

И не говорите.... СПАСИБО!!!!

Автор:  Radley [ 31 мар 2014, 16:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

Цитата:
Помогите исследовать ряд на сходимость по признакам Даламбера или Коши . Использовать радикальный признак мешает первая дробь , а по Даламбера совсем непонятно...



Признак д'Аламбера после стольких вычислений всё равно дал 1, но это и не требовалось, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Автор:  Yurik [ 01 апр 2014, 10:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

Radley писал(а):
Признак д'Аламбера после стольких вычислений всё равно дал 1, но это и не требовалось, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

То, что не выполняется необходимый признак сходимости, довольно сложно показать.
А признак Даламбера, пожалуйста.
[math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{3 \cdot 2n}}{{3 \cdot 2\left( {n + 1} \right)}}\frac{{{{\left( {1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right)}^{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}}}{{{{\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)}^{{n^2}}}}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{{e^{n + 1}}}}{{{e^n}}} = e > 1[/math]

Автор:  erjoma [ 01 апр 2014, 11:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать по признаку Даламбера или Коши

Yurik писал(а):
Не умеете находить производные.
[math]\left( {\ln \frac{3}{{2n}}} \right)' = \frac{{\left( {\frac{3}{{2n}}} \right)'}}{{\frac{3}{{2n}}}} = ...[/math]

[math]n[/math] дискретно и [math]\Delta n \geqslant 1[/math], а по определению производной [math]\Delta n \to 0[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/