| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследовать на сходимость ряда http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=31934 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | Nataliya [ 26 мар 2014, 14:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Исследовать на сходимость ряда |
Прошу помочь с двумя примерчиками. В первом ответ 1/7 сказали, что не правильно....
|
|
| Автор: | Radley [ 26 мар 2014, 18:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
1. А как Вы решали? Я б разложил дробь на сумму двух простейших, потом расписал первые члены... 2. Ряд сходится по Лейбницу (выполняются монотонная убываемость и стремление к нулю на бесконечности. Но абсолютной сходимости нет, это можно проверить по признаку сравнения или интегральному признаку Коши. |
|
| Автор: | Avgust [ 26 мар 2014, 18:17 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
1.9. Пример элементарный. Ищем частичные суммы в виде: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math] При [math]m=1\, ; \quad \sum=\frac{1}{56}[/math] [math]m=2\, ; \quad \sum=\frac{2}{63}[/math] [math]m=3\, ; \quad \sum=\frac{3}{70}[/math] Решая систему трех линейных уравнений с 3-мя неизвестными, получим [math]a=1 \, ; \, b=7 \, ; \, c=49[/math] То есть [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{m}{7m+49}[/math] Предел [math]\lim \limits_{m \to \infty} \frac{m}{7m+49}=\frac 17[/math] |
|
| Автор: | Nataliya [ 27 мар 2014, 08:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
Спасибо за первый примерчик. Второй можно расписать? Я написала, что он сходится по признаку Лейбница и расходится по признаку сравнения. Нужно подробнее описать... |
|
| Автор: | venjar [ 27 мар 2014, 11:07 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
Avgust писал(а): 1.9. Ищем частичные суммы в виде: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math] Тогда сначала нужно доказать, что частичные суммы имеют именно такой вид. |
|
| Автор: | Radley [ 28 мар 2014, 12:02 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
Цитата: Я написала, что он сходится по признаку Лейбница и расходится по признаку сравнения. Нужно подробнее описать... По признаку Лейбница проверим монотонность. Возьмём первые три члена, сравнив их между собой. Видим, что ряд уже сразу монотонно убывает: [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] Далее, выполняется и второе условие признака Лейбница: [math]\lim \frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] =0 Теперь обратимся к сходимости ряда, составленного из модуля знакопеременного. Сравним его с гармоническим рядом [math]\sqrt {n+1}[/math] [math]<[/math] n, [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{n }[/math] Гармонический ряд расходится. Ряд, больший расходящегося, тоже расходится. Значит, сходимость исходного знакопеременного ряда - условная. |
|
| Автор: | Nataliya [ 29 мар 2014, 13:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
Спасибо за помощь.
|
|
| Автор: | venjar [ 29 мар 2014, 14:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
Radley писал(а): По признаку Лейбница проверим монотонность. Возьмём первые три члена, сравнив их между собой. Видим, что ряд уже сразу монотонно убывает: [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] Извините, но Вы забавно проверяете монотонность в признаке Лейбница. Может, для надежности взять первые 4 члена? Или 5? |
|
| Автор: | Avgust [ 29 мар 2014, 15:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
venjar писал(а): Avgust писал(а): 1.9. Ищем частичные суммы в виде: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math] Тогда сначала нужно доказать, что частичные суммы имеют именно такой вид. Как и теорема Пифагора, давно доказан такой факт: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+a)(n+a+1)}=\frac{m}{(a+1)(m+a+1)}[/math] В принципе, можно было бы сразу по этой формуле дать ответ. Я решил показать, как можно получить ответ, если данную формулу перед глазами не иметь, но знать, что в числителе и в знаменателе [math]m[/math] только в первой степени. Зато сложность значительно возрастет, если будут ближайшие четные или ближайшие нечетные числа: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+a)(n+a+2)}=\frac{m[2a(m+a+3)+3m+5]}{2(a+1)(a+2)(m+a+1)(m+a+2)}[/math] Тут уже квадратичные формы. Решения ищут в виде [math]\frac{a_1m^2+b_1m}{a_2m^2+b_2m+c_2}[/math] то есть решают систему пяти линейных уравнений. |
|
| Автор: | venjar [ 29 мар 2014, 18:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследовать на сходимость ряда |
При решении задач ссылаться можно только на утверждения, доказанные в стандартных учебниках. Таких утверждений в этих учебниках нет. Поэтому их надо доказывать. Теорема Пифагора доказана в учебниках. На нее можно ссылаться без доказательства. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|