Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследовать на сходимость ряда
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=31934
Страница 1 из 2

Автор:  Nataliya [ 26 мар 2014, 14:01 ]
Заголовок сообщения:  Исследовать на сходимость ряда

Прошу помочь с двумя примерчиками.
В первом ответ 1/7 сказали, что не правильно....



Изображение

Автор:  Radley [ 26 мар 2014, 18:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

1. А как Вы решали? Я б разложил дробь на сумму двух простейших, потом расписал первые члены...

2. Ряд сходится по Лейбницу (выполняются монотонная убываемость и стремление к нулю на бесконечности. Но абсолютной сходимости нет, это можно проверить по признаку сравнения или интегральному признаку Коши.

Автор:  Avgust [ 26 мар 2014, 18:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

1.9. Пример элементарный. Ищем частичные суммы в виде:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math]

При [math]m=1\, ; \quad \sum=\frac{1}{56}[/math]

[math]m=2\, ; \quad \sum=\frac{2}{63}[/math]

[math]m=3\, ; \quad \sum=\frac{3}{70}[/math]

Решая систему трех линейных уравнений с 3-мя неизвестными, получим

[math]a=1 \, ; \, b=7 \, ; \, c=49[/math]

То есть

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{m}{7m+49}[/math]

Предел [math]\lim \limits_{m \to \infty} \frac{m}{7m+49}=\frac 17[/math]

Автор:  Nataliya [ 27 мар 2014, 08:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

Спасибо за первый примерчик.
Второй можно расписать?
Я написала, что он сходится по признаку Лейбница и расходится по признаку сравнения.
Нужно подробнее описать...

Автор:  venjar [ 27 мар 2014, 11:07 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

Avgust писал(а):
1.9. Ищем частичные суммы в виде:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math]


Тогда сначала нужно доказать, что частичные суммы имеют именно такой вид.

Автор:  Radley [ 28 мар 2014, 12:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

Цитата:
Я написала, что он сходится по признаку Лейбница и расходится по признаку сравнения.
Нужно подробнее описать...



По признаку Лейбница проверим монотонность. Возьмём первые три члена, сравнив их между собой. Видим, что ряд уже сразу монотонно убывает:


[math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]

Далее, выполняется и второе условие признака Лейбница: [math]\lim \frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] =0

Теперь обратимся к сходимости ряда, составленного из модуля знакопеременного. Сравним его с гармоническим рядом

[math]\sqrt {n+1}[/math] [math]<[/math] n, [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{n }[/math]

Гармонический ряд расходится. Ряд, больший расходящегося, тоже расходится. Значит, сходимость исходного знакопеременного ряда - условная.

Автор:  Nataliya [ 29 мар 2014, 13:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

:Bravo: Спасибо за помощь. :good:

Автор:  venjar [ 29 мар 2014, 14:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

Radley писал(а):

По признаку Лейбница проверим монотонность. Возьмём первые три члена, сравнив их между собой. Видим, что ряд уже сразу монотонно убывает:


[math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]



:)

Извините, но Вы забавно проверяете монотонность в признаке Лейбница.
Может, для надежности взять первые 4 члена? Или 5?

Автор:  Avgust [ 29 мар 2014, 15:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

venjar писал(а):
Avgust писал(а):
1.9. Ищем частичные суммы в виде:
[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math]

Тогда сначала нужно доказать, что частичные суммы имеют именно такой вид.

Как и теорема Пифагора, давно доказан такой факт:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+a)(n+a+1)}=\frac{m}{(a+1)(m+a+1)}[/math]

В принципе, можно было бы сразу по этой формуле дать ответ. Я решил показать, как можно получить ответ, если данную формулу перед глазами не иметь, но знать, что в числителе и в знаменателе [math]m[/math] только в первой степени.
Зато сложность значительно возрастет, если будут ближайшие четные или ближайшие нечетные числа:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+a)(n+a+2)}=\frac{m[2a(m+a+3)+3m+5]}{2(a+1)(a+2)(m+a+1)(m+a+2)}[/math]

Тут уже квадратичные формы. Решения ищут в виде

[math]\frac{a_1m^2+b_1m}{a_2m^2+b_2m+c_2}[/math]

то есть решают систему пяти линейных уравнений.

Автор:  venjar [ 29 мар 2014, 18:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследовать на сходимость ряда

При решении задач ссылаться можно только на утверждения, доказанные в стандартных учебниках. Таких утверждений в этих учебниках нет. Поэтому их надо доказывать.
Теорема Пифагора доказана в учебниках. На нее можно ссылаться без доказательства.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/