Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 13 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| Nataliya |
|
||
|
В первом ответ 1/7 сказали, что не правильно.... ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| Radley |
|
|
|
1. А как Вы решали? Я б разложил дробь на сумму двух простейших, потом расписал первые члены...
2. Ряд сходится по Лейбницу (выполняются монотонная убываемость и стремление к нулю на бесконечности. Но абсолютной сходимости нет, это можно проверить по признаку сравнения или интегральному признаку Коши. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Radley "Спасибо" сказали: Nataliya |
||
| Avgust |
|
||
|
1.9. Пример элементарный. Ищем частичные суммы в виде:
[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math] При [math]m=1\, ; \quad \sum=\frac{1}{56}[/math] [math]m=2\, ; \quad \sum=\frac{2}{63}[/math] [math]m=3\, ; \quad \sum=\frac{3}{70}[/math] Решая систему трех линейных уравнений с 3-мя неизвестными, получим [math]a=1 \, ; \, b=7 \, ; \, c=49[/math] То есть [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{m}{7m+49}[/math] Предел [math]\lim \limits_{m \to \infty} \frac{m}{7m+49}=\frac 17[/math] |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали: Nataliya |
|||
| Nataliya |
|
||
|
Спасибо за первый примерчик.
Второй можно расписать? Я написала, что он сходится по признаку Лейбница и расходится по признаку сравнения. Нужно подробнее описать... |
|||
| Вернуться к началу | |||
| venjar |
|
|
|
Avgust писал(а): 1.9. Ищем частичные суммы в виде: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math] Тогда сначала нужно доказать, что частичные суммы имеют именно такой вид. |
||
| Вернуться к началу | ||
| Radley |
|
|
|
Цитата: Я написала, что он сходится по признаку Лейбница и расходится по признаку сравнения. Нужно подробнее описать... По признаку Лейбница проверим монотонность. Возьмём первые три члена, сравнив их между собой. Видим, что ряд уже сразу монотонно убывает: [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] Далее, выполняется и второе условие признака Лейбница: [math]\lim \frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] =0 Теперь обратимся к сходимости ряда, составленного из модуля знакопеременного. Сравним его с гармоническим рядом [math]\sqrt {n+1}[/math] [math]<[/math] n, [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{n }[/math] Гармонический ряд расходится. Ряд, больший расходящегося, тоже расходится. Значит, сходимость исходного знакопеременного ряда - условная. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю Radley "Спасибо" сказали: Nataliya |
||
| Nataliya |
|
||
Спасибо за помощь. ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| venjar |
|
|
|
Radley писал(а): По признаку Лейбница проверим монотонность. Возьмём первые три члена, сравнив их между собой. Видим, что ряд уже сразу монотонно убывает: [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math] Извините, но Вы забавно проверяете монотонность в признаке Лейбница. Может, для надежности взять первые 4 члена? Или 5? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Avgust |
|
|
|
venjar писал(а): Avgust писал(а): 1.9. Ищем частичные суммы в виде: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math] Тогда сначала нужно доказать, что частичные суммы имеют именно такой вид. Как и теорема Пифагора, давно доказан такой факт: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+a)(n+a+1)}=\frac{m}{(a+1)(m+a+1)}[/math] В принципе, можно было бы сразу по этой формуле дать ответ. Я решил показать, как можно получить ответ, если данную формулу перед глазами не иметь, но знать, что в числителе и в знаменателе [math]m[/math] только в первой степени. Зато сложность значительно возрастет, если будут ближайшие четные или ближайшие нечетные числа: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+a)(n+a+2)}=\frac{m[2a(m+a+3)+3m+5]}{2(a+1)(a+2)(m+a+1)(m+a+2)}[/math] Тут уже квадратичные формы. Решения ищут в виде [math]\frac{a_1m^2+b_1m}{a_2m^2+b_2m+c_2}[/math] то есть решают систему пяти линейных уравнений. |
||
| Вернуться к началу | ||
| venjar |
|
||
|
При решении задач ссылаться можно только на утверждения, доказанные в стандартных учебниках. Таких утверждений в этих учебниках нет. Поэтому их надо доказывать.
Теорема Пифагора доказана в учебниках. На нее можно ссылаться без доказательства. |
|||
| Вернуться к началу | |||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 13 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Ряды |
6 |
424 |
06 май 2016, 09:33 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Ряды |
6 |
609 |
24 май 2020, 04:41 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Ряды |
4 |
202 |
26 ноя 2020, 04:40 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Объявления участников Форума |
4 |
709 |
13 фев 2015, 14:20 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Ряды |
1 |
297 |
25 апр 2017, 00:02 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
8 |
931 |
21 фев 2015, 22:24 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Ряды |
1 |
342 |
02 июн 2021, 10:17 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Ряды |
0 |
469 |
25 июн 2016, 12:46 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Ряды |
5 |
279 |
24 май 2020, 06:35 |
|
|
Исследовать сходимость ряда
в форуме Ряды |
1 |
467 |
24 май 2017, 18:54 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |