Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 26 мар 2014, 14:01 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2014, 17:50
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу помочь с двумя примерчиками.
В первом ответ 1/7 сказали, что не правильно....



Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 26 мар 2014, 18:06 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2678
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
539 раз в 526 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1. А как Вы решали? Я б разложил дробь на сумму двух простейших, потом расписал первые члены...

2. Ряд сходится по Лейбницу (выполняются монотонная убываемость и стремление к нулю на бесконечности. Но абсолютной сходимости нет, это можно проверить по признаку сравнения или интегральному признаку Коши.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Radley "Спасибо" сказали:
Nataliya
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 26 мар 2014, 18:17 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1.9. Пример элементарный. Ищем частичные суммы в виде:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math]

При [math]m=1\, ; \quad \sum=\frac{1}{56}[/math]

[math]m=2\, ; \quad \sum=\frac{2}{63}[/math]

[math]m=3\, ; \quad \sum=\frac{3}{70}[/math]

Решая систему трех линейных уравнений с 3-мя неизвестными, получим

[math]a=1 \, ; \, b=7 \, ; \, c=49[/math]

То есть

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{m}{7m+49}[/math]

Предел [math]\lim \limits_{m \to \infty} \frac{m}{7m+49}=\frac 17[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Nataliya
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 27 мар 2014, 08:07 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2014, 17:50
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за первый примерчик.
Второй можно расписать?
Я написала, что он сходится по признаку Лейбница и расходится по признаку сравнения.
Нужно подробнее описать...

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 27 мар 2014, 11:07 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3374
Cпасибо сказано: 577
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Avgust писал(а):
1.9. Ищем частичные суммы в виде:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math]


Тогда сначала нужно доказать, что частичные суммы имеют именно такой вид.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 28 мар 2014, 12:02 
Не в сети
Последняя инстанция
Зарегистрирован:
26 янв 2014, 16:58
Сообщений: 2678
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
539 раз в 526 сообщениях
Очков репутации: 120

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Я написала, что он сходится по признаку Лейбница и расходится по признаку сравнения.
Нужно подробнее описать...



По признаку Лейбница проверим монотонность. Возьмём первые три члена, сравнив их между собой. Видим, что ряд уже сразу монотонно убывает:


[math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]

Далее, выполняется и второе условие признака Лейбница: [math]\lim \frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] =0

Теперь обратимся к сходимости ряда, составленного из модуля знакопеременного. Сравним его с гармоническим рядом

[math]\sqrt {n+1}[/math] [math]<[/math] n, [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{n }[/math]

Гармонический ряд расходится. Ряд, больший расходящегося, тоже расходится. Значит, сходимость исходного знакопеременного ряда - условная.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Radley "Спасибо" сказали:
Nataliya
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 29 мар 2014, 13:37 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2014, 17:50
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
:Bravo: Спасибо за помощь. :good:

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 29 мар 2014, 14:39 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3374
Cпасибо сказано: 577
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Radley писал(а):

По признаку Лейбница проверим монотонность. Возьмём первые три члена, сравнив их между собой. Видим, что ряд уже сразу монотонно убывает:


[math]\frac{ 1 }{ \sqrt{2} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ \sqrt{3} }[/math] [math]>[/math] [math]\frac{ 1 }{ 2 }[/math]



:)

Извините, но Вы забавно проверяете монотонность в признаке Лейбница.
Может, для надежности взять первые 4 члена? Или 5?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 29 мар 2014, 15:29 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13561
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1291
Спасибо получено:
3622 раз в 3180 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
venjar писал(а):
Avgust писал(а):
1.9. Ищем частичные суммы в виде:
[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{am}{bm+c}[/math]

Тогда сначала нужно доказать, что частичные суммы имеют именно такой вид.

Как и теорема Пифагора, давно доказан такой факт:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+a)(n+a+1)}=\frac{m}{(a+1)(m+a+1)}[/math]

В принципе, можно было бы сразу по этой формуле дать ответ. Я решил показать, как можно получить ответ, если данную формулу перед глазами не иметь, но знать, что в числителе и в знаменателе [math]m[/math] только в первой степени.
Зато сложность значительно возрастет, если будут ближайшие четные или ближайшие нечетные числа:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+a)(n+a+2)}=\frac{m[2a(m+a+3)+3m+5]}{2(a+1)(a+2)(m+a+1)(m+a+2)}[/math]

Тут уже квадратичные формы. Решения ищут в виде

[math]\frac{a_1m^2+b_1m}{a_2m^2+b_2m+c_2}[/math]

то есть решают систему пяти линейных уравнений.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать на сходимость ряда
СообщениеДобавлено: 29 мар 2014, 18:04 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3374
Cпасибо сказано: 577
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При решении задач ссылаться можно только на утверждения, доказанные в стандартных учебниках. Таких утверждений в этих учебниках нет. Поэтому их надо доказывать.
Теорема Пифагора доказана в учебниках. На нее можно ссылаться без доказательства.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 13 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать сходимость ряда

в форуме Ряды

sfanter

6

424

06 май 2016, 09:33

Исследовать сходимость ряда

в форуме Ряды

351w

6

609

24 май 2020, 04:41

Исследовать сходимость ряда

в форуме Ряды

351w

4

202

26 ноя 2020, 04:40

Исследовать сходимость ряда

в форуме Объявления участников Форума

x-reys

4

709

13 фев 2015, 14:20

Исследовать сходимость ряда

в форуме Ряды

FutureCEO

1

297

25 апр 2017, 00:02

Исследовать сходимость ряда

в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций

Nurbz

8

931

21 фев 2015, 22:24

Исследовать сходимость ряда

в форуме Ряды

Tom18

1

342

02 июн 2021, 10:17

Исследовать сходимость ряда

в форуме Ряды

adam11

0

469

25 июн 2016, 12:46

Исследовать сходимость ряда

в форуме Ряды

351w

5

279

24 май 2020, 06:35

Исследовать сходимость ряда

в форуме Ряды

hacker999

1

467

24 май 2017, 18:54


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 2


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved