Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Исследовать ряды на сходимость
СообщениеДобавлено: 31 дек 2010, 10:56 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 дек 2010, 21:31
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Помогите исследовать на сходимось следующие ряды:

1) [math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^n}{\sqrt{2^n}}[/math]

2) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}{\left(\frac{n}{4n-3}\right)\!}^{2n}[/math]

3) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n^2}}[/math]

Нужна любая помощь.
Подскажите хоть по каким признакам исследовать сходимость!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряды на сходимость
СообщениеДобавлено: 02 янв 2011, 20:35 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pasha12p писал(а):
Помогите исследовать на сходимось следующие ряды:

1) [math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^n}{\sqrt{2^n}}[/math]

Нужна любая помощь.
Подскажите хоть по каким признакам исследовать сходимость!

Воспользуйтесь радикальным признаком Коши:

[math]\lim_{n\to\infty}\!\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\!\sqrt[n]{\frac{n^n}{\sqrt{2^n}}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt2}=\infty>1[/math]

Следовательно, ряд расходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
pasha12p
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряды на сходимость
СообщениеДобавлено: 02 янв 2011, 20:43 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pasha12p писал(а):
Помогите исследовать на сходимось следующие ряды:

2) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\sqrt{n}{\left(\frac{n}{4n-3}\right)\!}^{2n}[/math]

Нужна любая помощь.
Подскажите хоть по каким признакам исследовать сходимость!

Также используйте радикальный Коши

[math]\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}&=\lim_{n\to\infty}\!\sqrt[n]{\sqrt{n}{\left(\frac{n}{4n-3}\right)\!}^{2n}}=\lim_{n\to\infty}n^{\frac{1}{2n}}{\!\left(\frac{n}{4n-3}\right)\!}^2=\lim_{n\to\infty}\exp\frac{\ln{n}}{2n}\lim_{n\to\infty}{\!\left(\frac{n}{4n-3}\right)\!}^2=\\[4pt]&=\exp\lim_{n\to\infty}\frac{(\ln{n})'}{(2n)'}\lim_{n\to\infty}{\!\left(\frac{1}{4-3/n}\right)\!}^2=\exp\lim_{n\to\infty}\frac{\ln{n}}{2n}{\!\left(\frac{1}{4-0}\right)\!}^2=e^0\cdot\frac{1}{16}=\frac{1}{16}<1\end{aligned}[/math]

Следовательно, ряд сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
pasha12p
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряды на сходимость
СообщениеДобавлено: 02 янв 2011, 20:47 
Не в сети
Администратор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
23 фев 2010, 22:52
Сообщений: 6003
Cпасибо сказано: 3247
Спасибо получено:
3150 раз в 2273 сообщениях
Очков репутации: 652

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
pasha12p писал(а):
Помогите исследовать на сходимось следующие ряды:

3) [math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{e^{n^2}}[/math]

Нужна любая помощь.
Подскажите хоть по каким признакам исследовать сходимость!

Воспользуйтесь признаком Даламбера

[math]a_n=\frac{n}{e^{n^2}}~\Rightarrow~a_{n+1}=\frac{n+1}{e^{(n+1)^2}}[/math]

[math]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{ne^{(n+1)^2-n^2}}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{e^{2n+1}}\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=0\cdot(1+0)=0<1[/math]

Следовательно, ряд сходится.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Alexdemath "Спасибо" сказали:
pasha12p
 Заголовок сообщения: Re: Исследовать ряды на сходимость
СообщениеДобавлено: 03 янв 2011, 19:04 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
30 дек 2010, 21:31
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 5
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо за подробные ответы!

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 5 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

351w

1

132

10 дек 2019, 22:00

Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

Volkswagen101

2

203

04 ноя 2020, 23:10

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

351w

5

266

12 апр 2018, 14:48

Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

351w

12

267

14 ноя 2019, 15:42

Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

Nikita23548

6

254

25 сен 2021, 10:19

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

volodik28

20

1165

26 мар 2015, 22:19

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

Anastasia139

13

800

17 июн 2015, 19:54

Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

Ekaterina5

6

412

09 июн 2015, 22:35

Исследовать ряды на сходимость

в форуме Ряды

fasgen

3

403

12 ноя 2015, 19:23

Исследовать на сходимость ряды

в форуме Ряды

351w

5

515

11 дек 2019, 17:13


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 12


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved