Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сходимость рядов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=31568
Страница 1 из 1

Автор:  Nataliya [ 13 мар 2014, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Сходимость рядов

Прошу помочь решить примерчики. Хотя бы один. Для меня уже счастье будет.
Заранее спасибо.


Изображение

Автор:  Avgust [ 13 мар 2014, 18:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость рядов

1) Найдем сразу сумму. Это будет доказательством сходимости.
Исследуя частные суммы, легко вывести общую зависимость:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{m}{7m + 49}[/math]

Это равно [math]\frac 17-\frac{1}{m+7}[/math]

При устремлении m к бесконечности вторая дробь обнулится.

Ответ : [math]\frac 17[/math]

Автор:  lelius [ 13 мар 2014, 19:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость рядов

Здравствуйте, Avgust,

Я хотел бы подметить, что ваше утверждение, на счёт доказательства сходимости ряда, неверно. Это можно доказать примерами:
[math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n=\frac{ 1 }{ 2 }[/math], [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n=\frac{ 1 }{ 4 }[/math], [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n=-\frac{ 1 }{ 12 }[/math].

Автор:  Avgust [ 13 мар 2014, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость рядов

lelius, пример явно неудачный. В моем случае все железно работает. Да и проверил машинными мозгами.

2)Сходимость легко определяется по признаку Даламбера

[math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{3(n+1)(n+2) \cdot 5^n}{5^{n+1}\cdot 3n(n+1)}=\frac 15 <1[/math]


Сумму можно найти тем же способом, но пришлось дольше повозиться (вам это делать необязательно):

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{3n(n+1)}{5^n}=\frac{3}{32} \left (5^2-\frac{8m^2+28m+25}{5^m} \right )[/math]

При бесконечном [math]m[/math] дробь обнуляется, поскольку знаменатель пересиливает даже [math]m^2[/math], поэтому:

Ответ: [math]\frac{75}{32}[/math]

Автор:  lelius [ 13 мар 2014, 21:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость рядов

Насчёт сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ (n+6)(n+7) }[/math] я с вами полностью согласен. А если говоря о моих написанных примеров то я ими хотел только показать что не все найденные суммы дают знать о сходимости рядов . :)

Автор:  Avgust [ 13 мар 2014, 22:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость рядов

lelius, да конечно. Каждый ряд сидит на своем шесте :)

3) По признаку Даламбера

[math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{\left [\ln(n+1) \right ]^{2n}}{\left [\ln(n+2) \right ]^{2(n+1)}}=0 <1[/math]

ряд сходится. Рассчитать можно только численно... Машина дает примерно 2.934...

4)Расходится, даже если в знаменателе [math]7^n[/math]. Факториал сильней степени.

[math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{n!}{7^n}=\infty[/math]

Автор:  lelius [ 13 мар 2014, 23:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходимость рядов

5. Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }|[/math] сходится условно:

a. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] - ряд сходится по признаку Лейбница.
b. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ 2\sqrt{n} }<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math]- ряд расходится по признаку сравнения.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/