| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Сходимость рядов http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=31568 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Nataliya [ 13 мар 2014, 18:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Сходимость рядов |
Прошу помочь решить примерчики. Хотя бы один. Для меня уже счастье будет. Заранее спасибо.
|
|
| Автор: | Avgust [ 13 мар 2014, 18:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость рядов |
1) Найдем сразу сумму. Это будет доказательством сходимости. Исследуя частные суммы, легко вывести общую зависимость: [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{m}{7m + 49}[/math] Это равно [math]\frac 17-\frac{1}{m+7}[/math] При устремлении m к бесконечности вторая дробь обнулится. Ответ : [math]\frac 17[/math] |
|
| Автор: | lelius [ 13 мар 2014, 19:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость рядов |
Здравствуйте, Avgust, Я хотел бы подметить, что ваше утверждение, на счёт доказательства сходимости ряда, неверно. Это можно доказать примерами: [math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n=\frac{ 1 }{ 2 }[/math], [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n=\frac{ 1 }{ 4 }[/math], [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n=-\frac{ 1 }{ 12 }[/math]. |
|
| Автор: | Avgust [ 13 мар 2014, 21:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость рядов |
lelius, пример явно неудачный. В моем случае все железно работает. Да и проверил машинными мозгами. 2)Сходимость легко определяется по признаку Даламбера [math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{3(n+1)(n+2) \cdot 5^n}{5^{n+1}\cdot 3n(n+1)}=\frac 15 <1[/math] Сумму можно найти тем же способом, но пришлось дольше повозиться (вам это делать необязательно): [math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{3n(n+1)}{5^n}=\frac{3}{32} \left (5^2-\frac{8m^2+28m+25}{5^m} \right )[/math] При бесконечном [math]m[/math] дробь обнуляется, поскольку знаменатель пересиливает даже [math]m^2[/math], поэтому: Ответ: [math]\frac{75}{32}[/math] |
|
| Автор: | lelius [ 13 мар 2014, 21:46 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость рядов |
Насчёт сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ (n+6)(n+7) }[/math] я с вами полностью согласен. А если говоря о моих написанных примеров то я ими хотел только показать что не все найденные суммы дают знать о сходимости рядов .
|
|
| Автор: | Avgust [ 13 мар 2014, 22:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость рядов |
lelius, да конечно. Каждый ряд сидит на своем шесте ![]() 3) По признаку Даламбера [math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{\left [\ln(n+1) \right ]^{2n}}{\left [\ln(n+2) \right ]^{2(n+1)}}=0 <1[/math] ряд сходится. Рассчитать можно только численно... Машина дает примерно 2.934... 4)Расходится, даже если в знаменателе [math]7^n[/math]. Факториал сильней степени. [math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{n!}{7^n}=\infty[/math] |
|
| Автор: | lelius [ 13 мар 2014, 23:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Сходимость рядов |
5. Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }|[/math] сходится условно: a. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] - ряд сходится по признаку Лейбница. b. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ 2\sqrt{n} }<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math]- ряд расходится по признаку сравнения. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|