Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 13 мар 2014, 18:03 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
13 мар 2014, 17:50
Сообщений: 10
Cпасибо сказано: 9
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Прошу помочь решить примерчики. Хотя бы один. Для меня уже счастье будет.
Заранее спасибо.


Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 13 мар 2014, 18:23 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
1) Найдем сразу сумму. Это будет доказательством сходимости.
Исследуя частные суммы, легко вывести общую зависимость:

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{1}{(n+6)(n+7)}=\frac{m}{7m + 49}[/math]

Это равно [math]\frac 17-\frac{1}{m+7}[/math]

При устремлении m к бесконечности вторая дробь обнулится.

Ответ : [math]\frac 17[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Nataliya
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 13 мар 2014, 19:23 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 окт 2013, 11:29
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Здравствуйте, Avgust,

Я хотел бы подметить, что ваше утверждение, на счёт доказательства сходимости ряда, неверно. Это можно доказать примерами:
[math]\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n=\frac{ 1 }{ 2 }[/math], [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}n=\frac{ 1 }{ 4 }[/math], [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}n=-\frac{ 1 }{ 12 }[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 13 мар 2014, 21:16 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lelius, пример явно неудачный. В моем случае все железно работает. Да и проверил машинными мозгами.

2)Сходимость легко определяется по признаку Даламбера

[math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{3(n+1)(n+2) \cdot 5^n}{5^{n+1}\cdot 3n(n+1)}=\frac 15 <1[/math]


Сумму можно найти тем же способом, но пришлось дольше повозиться (вам это делать необязательно):

[math]\sum \limits_{n=1}^m \frac{3n(n+1)}{5^n}=\frac{3}{32} \left (5^2-\frac{8m^2+28m+25}{5^m} \right )[/math]

При бесконечном [math]m[/math] дробь обнуляется, поскольку знаменатель пересиливает даже [math]m^2[/math], поэтому:

Ответ: [math]\frac{75}{32}[/math]


Последний раз редактировалось Avgust 13 мар 2014, 22:01, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Nataliya
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 13 мар 2014, 21:46 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 окт 2013, 11:29
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Насчёт сходимости ряда [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ (n+6)(n+7) }[/math] я с вами полностью согласен. А если говоря о моих написанных примеров то я ими хотел только показать что не все найденные суммы дают знать о сходимости рядов . :)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 13 мар 2014, 22:03 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 19:13
Сообщений: 13534
Откуда: Москва
Cпасибо сказано: 1290
Спасибо получено:
3616 раз в 3175 сообщениях
Очков репутации: 678

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
lelius, да конечно. Каждый ряд сидит на своем шесте :)

3) По признаку Даламбера

[math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{\left [\ln(n+1) \right ]^{2n}}{\left [\ln(n+2) \right ]^{2(n+1)}}=0 <1[/math]

ряд сходится. Рассчитать можно только численно... Машина дает примерно 2.934...

4)Расходится, даже если в знаменателе [math]7^n[/math]. Факториал сильней степени.

[math]\lim \limits_{n \to \infty}\frac{n!}{7^n}=\infty[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Avgust "Спасибо" сказали:
Nataliya
 Заголовок сообщения: Re: Сходимость рядов
СообщениеДобавлено: 13 мар 2014, 23:18 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
12 окт 2013, 11:29
Сообщений: 19
Cпасибо сказано: 6
Спасибо получено:
4 раз в 4 сообщениях
Очков репутации: 3

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
5. Ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}|(-1)^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }|[/math] сходится условно:

a. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math] - ряд сходится по признаку Лейбница.
b. [math]\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ 2\sqrt{n} }<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{ 1 }{ \sqrt{n+1} }[/math]- ряд расходится по признаку сравнения.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю lelius "Спасибо" сказали:
Nataliya
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 7 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость рядов

в форуме Ряды

graft

1

372

02 дек 2015, 08:36

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Vitani

1

303

14 май 2017, 13:28

Сходимость рядов

в форуме Ряды

homa120199

8

358

17 дек 2022, 21:43

Сходимость рядов

в форуме Ряды

Lina_Vls

4

604

15 апр 2014, 15:45

Сходимость рядов

в форуме Ряды

annzzz

12

797

25 май 2015, 19:59

Доказательство, сходимость рядов

в форуме Ряды

DorianT

1

169

22 дек 2017, 11:28

Сходимость положительных рядов

в форуме Ряды

walentinka

4

268

12 дек 2020, 21:48

Исследовать сходимость рядов

в форуме Ряды

Tatiana_1

4

299

17 ноя 2022, 16:07

Исследовать сходимость рядов

в форуме Ряды

UserSqc101

1

239

19 июн 2019, 20:00

Исследовать сходимость рядов

в форуме Ряды

351w

7

407

13 май 2018, 17:23


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 14


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved