| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследование на сходимость числовых рядов№444 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=30894 |
Страница 3 из 3 |
| Автор: | Human [ 12 фев 2014, 18:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
Если позволите, то я тоже влезу В теории пределов известно следующее утверждение: если [math]a_n>0[/math], [math]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=a[/math]. Пусть [math]a_n=\frac{n^n}{n!}[/math]. Тогда [math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac1n\right)^n\to e[/math] Отсюда [math]\frac n{\sqrt[n]{n!}}\sim e[/math] Само утверждение выводится не так сложно: 1. Если [math]\lim_{n\to\infty}a_n=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^na_k=a[/math] (следствие теоремы Штольца, или же его можно и само по себе доказать) 2. Принимая [math]a_n=\ln b_n[/math] получаем аналог утверждения 1 для среднего геометрического: если [math]a_n>0[/math] и [math]\lim_{n\to\infty}a_n=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^na_k}=a[/math] 3. Принимая [math]a_1=b_1,\ a_n=\frac{b_n}{b_{n-1}},\ n\geqslant2[/math] в утверждении 2 приходим к искомому утверждению. |
|
| Страница 3 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|