Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследование на сходимость числовых рядов№444
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=30894
Страница 3 из 3

Автор:  Human [ 12 фев 2014, 18:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

Если позволите, то я тоже влезу :)

В теории пределов известно следующее утверждение: если [math]a_n>0[/math], [math]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=a[/math]. Пусть [math]a_n=\frac{n^n}{n!}[/math]. Тогда

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac1n\right)^n\to e[/math]

Отсюда [math]\frac n{\sqrt[n]{n!}}\sim e[/math]

Само утверждение выводится не так сложно:

1. Если [math]\lim_{n\to\infty}a_n=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^na_k=a[/math] (следствие теоремы Штольца, или же его можно и само по себе доказать)

2. Принимая [math]a_n=\ln b_n[/math] получаем аналог утверждения 1 для среднего геометрического: если [math]a_n>0[/math] и [math]\lim_{n\to\infty}a_n=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^na_k}=a[/math]

3. Принимая [math]a_1=b_1,\ a_n=\frac{b_n}{b_{n-1}},\ n\geqslant2[/math] в утверждении 2 приходим к искомому утверждению.

Страница 3 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/