| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Исследование на сходимость числовых рядов№444 http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=30894 |
Страница 2 из 3 |
| Автор: | dobby [ 10 фев 2014, 19:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
Цитата: Данный предел относиться к тем, которые нужно знать наизусть. Чтобы это знать, нужно понимать, откуда это взялось. Доказательство достаточно нетривиальное. Цитата: И доказывать его каждый раз не нужно. Но один-то раз нужно. Цитата: Конкретно, при решении задач на сходимость ряда по признаку Коши используют следующие пределы Ну первый понятно, а последующие заставляют задуматься. |
|
| Автор: | venjar [ 11 фев 2014, 10:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
evaf писал(а): Данный предел относиться к тем, которые нужно знать наизусть. И доказывать его каждый раз не нужно. Не относится. И доказывать нужно. А тогда это выльется в нечто более громоздкое, чем предложил Yurik. Ссылаться без доказательства можно только на те пределы, которые в виде теорем представлены в теоретических частях учебников (например, первый или второй замечательные пределы). |
|
| Автор: | Yurik [ 11 фев 2014, 10:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
evaf Я такие пределы не знаю, хотя первые два очевидны, в ВУЗе их не всем дают. Поэтому я и прошу доказать его, или хотя бы дать ссылку. Вы же этого не хотите делать. А может быть, просто не знаете? ![]() PS. Может, кто-нибудь удовлетворит моё любопытство? |
|
| Автор: | dobby [ 11 фев 2014, 11:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
Цитата: хотя первые два очевидны Yurik мне кажется, второй так же достоин внимания. |
|
| Автор: | Yurik [ 11 фев 2014, 11:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
dobby писал(а): Yurik мне кажется, второй так же достоин внимания. Да, конечно. Я ошибочно написал. |
|
| Автор: | mad_math [ 11 фев 2014, 15:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
Yurik писал(а): Может, кто-нибудь удовлетворит моё любопытство? На тот, что с факториалом под корнем, я где-то натыкалась (тоже попалось такое в задаче и была нужда в обосновании), но сейчас точно не вспомню где именно.
|
|
| Автор: | Prokop [ 11 фев 2014, 15:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
Yurik Не тревожа великих, можно найти предел логарифмов [math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\ln \frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\left({\ln n - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n{\ln k}}\right) = - \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n{\ln \frac{k}{n}}= - \int\limits_0^1{\ln x\;dx}= 1[/math] |
|
| Автор: | Yurik [ 11 фев 2014, 16:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
Prokop писал(а): можно найти предел логарифмов Спасибо, конечно, но для меня это слишком сложно. Всё понятно, но до этого я бы никогда не додумался. |
|
| Автор: | dobby [ 11 фев 2014, 19:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
Prokop нагло взяли и сорвали весь катарсис.) Еще, одним из вариантов, является нахождение асимптотики для [math]\sqrt[n]{n!}[/math]: Оценив интеграл методом прямоугольников, получаем [math]\int\limits_{1}^{n}\ln{x}dx < \ln{1}+\ln{2}+...+\ln{n} < \int\limits_{2}^{n+1}\ln{x}dx[/math]. Как известно, [math]\int \ln{x}dx=x\ln{x}-x+C[/math]. Поэтому [math]n^{n} e^{-n+1} < \sqrt[n]{n!} < (n+1)^{n+1}e^{-n+1} \!\!\not{\phantom{|}}\, 4[/math]. Так как [math](n+1)^{n+1}=n^{n+1}(1+\frac{ 1 }{ n } )^{n+1} \leqslant 4n^{n+1}[/math], то [math]ne^{-\frac{ n-1 }{ n } } < \sqrt[n]{n!} < n^{\frac{ n+1 }{ n } }e^{-\frac{ n-1 }{ n } }\ \Longrightarrow \ \sqrt[n]{n!} \sim ne^{-\frac{ n-1 }{ n } },\ n \to \infty[/math].
|
|
| Автор: | dobby [ 11 фев 2014, 21:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444 |
Блин, опечатку допустил. После "Поэтому" должно быть тра-та-та < n! < тра-та -та.) |
|
| Страница 2 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|