Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Исследование на сходимость числовых рядов№444
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=30894
Страница 2 из 3

Автор:  dobby [ 10 фев 2014, 19:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

Цитата:
Данный предел относиться к тем, которые нужно знать наизусть.

Чтобы это знать, нужно понимать, откуда это взялось. Доказательство достаточно нетривиальное.
Цитата:
И доказывать его каждый раз не нужно.

Но один-то раз нужно.
Цитата:
Конкретно, при решении задач на сходимость ряда по признаку Коши используют следующие пределы

Ну первый понятно, а последующие заставляют задуматься.

Автор:  venjar [ 11 фев 2014, 10:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

evaf писал(а):


Данный предел относиться к тем, которые нужно знать наизусть. И доказывать его каждый раз не нужно.


Не относится. И доказывать нужно. А тогда это выльется в нечто более громоздкое, чем предложил Yurik.
Ссылаться без доказательства можно только на те пределы, которые в виде теорем представлены в теоретических частях учебников (например, первый или второй замечательные пределы).

Автор:  Yurik [ 11 фев 2014, 10:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

evaf
Я такие пределы не знаю, хотя первые два очевидны, в ВУЗе их не всем дают. Поэтому я и прошу доказать его, или хотя бы дать ссылку. Вы же этого не хотите делать. А может быть, просто не знаете? :D1

PS. Может, кто-нибудь удовлетворит моё любопытство?

Автор:  dobby [ 11 фев 2014, 11:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

Цитата:
хотя первые два очевидны

Yurik мне кажется, второй так же достоин внимания.

Автор:  Yurik [ 11 фев 2014, 11:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

dobby писал(а):
Yurik мне кажется, второй так же достоин внимания.

Да, конечно. Я ошибочно написал.

Автор:  mad_math [ 11 фев 2014, 15:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

Yurik писал(а):
Может, кто-нибудь удовлетворит моё любопытство?
На тот, что с факториалом под корнем, я где-то натыкалась (тоже попалось такое в задаче и была нужда в обосновании), но сейчас точно не вспомню где именно.

Автор:  Prokop [ 11 фев 2014, 15:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

Yurik
Не тревожа великих, можно найти предел логарифмов
[math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\ln \frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\left({\ln n - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n{\ln k}}\right) = - \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n{\ln \frac{k}{n}}= - \int\limits_0^1{\ln x\;dx}= 1[/math]

Автор:  Yurik [ 11 фев 2014, 16:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

Prokop писал(а):
можно найти предел логарифмов

Спасибо, конечно, но для меня это слишком сложно. Всё понятно, но до этого я бы никогда не додумался.

Автор:  dobby [ 11 фев 2014, 19:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

Prokop нагло взяли и сорвали весь катарсис.)
Еще, одним из вариантов, является нахождение асимптотики для [math]\sqrt[n]{n!}[/math]:

Оценив интеграл методом прямоугольников, получаем
[math]\int\limits_{1}^{n}\ln{x}dx < \ln{1}+\ln{2}+...+\ln{n} < \int\limits_{2}^{n+1}\ln{x}dx[/math].

Как известно, [math]\int \ln{x}dx=x\ln{x}-x+C[/math].
Поэтому
[math]n^{n} e^{-n+1} < \sqrt[n]{n!} < (n+1)^{n+1}e^{-n+1} \!\!\not{\phantom{|}}\, 4[/math].

Так как [math](n+1)^{n+1}=n^{n+1}(1+\frac{ 1 }{ n } )^{n+1} \leqslant 4n^{n+1}[/math], то
[math]ne^{-\frac{ n-1 }{ n } } < \sqrt[n]{n!} < n^{\frac{ n+1 }{ n } }e^{-\frac{ n-1 }{ n } }\ \Longrightarrow \ \sqrt[n]{n!} \sim ne^{-\frac{ n-1 }{ n } },\ n \to \infty[/math].

Автор:  dobby [ 11 фев 2014, 21:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444

Блин, опечатку допустил. После "Поэтому" должно быть тра-та-та < n! < тра-та -та.)

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/