Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 12 фев 2014, 18:26 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
03 апр 2012, 03:09
Сообщений: 4113
Cпасибо сказано: 116
Спасибо получено:
1823 раз в 1515 сообщениях
Очков репутации: 379

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Если позволите, то я тоже влезу :)

В теории пределов известно следующее утверждение: если [math]a_n>0[/math], [math]\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=a[/math]. Пусть [math]a_n=\frac{n^n}{n!}[/math]. Тогда

[math]\frac{a_{n+1}}{a_n}=\left(1+\frac1n\right)^n\to e[/math]

Отсюда [math]\frac n{\sqrt[n]{n!}}\sim e[/math]

Само утверждение выводится не так сложно:

1. Если [math]\lim_{n\to\infty}a_n=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^na_k=a[/math] (следствие теоремы Штольца, или же его можно и само по себе доказать)

2. Принимая [math]a_n=\ln b_n[/math] получаем аналог утверждения 1 для среднего геометрического: если [math]a_n>0[/math] и [math]\lim_{n\to\infty}a_n=a[/math], то и [math]\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\prod_{k=1}^na_k}=a[/math]

3. Принимая [math]a_1=b_1,\ a_n=\frac{b_n}{b_{n-1}},\ n\geqslant2[/math] в утверждении 2 приходим к искомому утверждению.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Human "Спасибо" сказали:
mad_math
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  Страница 3 из 3 [ Сообщений: 21 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

Zyf2121

16

813

19 сен 2015, 21:53

Сумма числовых рядов

в форуме Ряды

351w

12

847

04 июн 2018, 06:43

Найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды

koallalo

1

544

09 янв 2015, 15:10

Суммирование расходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

Igor_yudin

2

269

02 фев 2018, 14:31

Теорема Римана для условно сходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

westernru

1

760

13 май 2015, 17:43

Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

MrSviter

0

605

14 апр 2018, 23:46

Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Valter017

0

696

24 апр 2018, 23:14

Исследование сходимости рядов

в форуме Ряды

351w

13

1066

29 май 2018, 06:11

Исследование сходимости рядов

в форуме Ряды

351w

6

1200

27 сен 2018, 11:32

Сходимость рядов

в форуме Ряды

annzzz

12

847

25 май 2015, 19:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved