Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 10 фев 2014, 19:33 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 янв 2014, 15:52
Сообщений: 494
Откуда: Hogwarts
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
143 раз в 130 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
Данный предел относиться к тем, которые нужно знать наизусть.

Чтобы это знать, нужно понимать, откуда это взялось. Доказательство достаточно нетривиальное.
Цитата:
И доказывать его каждый раз не нужно.

Но один-то раз нужно.
Цитата:
Конкретно, при решении задач на сходимость ряда по признаку Коши используют следующие пределы

Ну первый понятно, а последующие заставляют задуматься.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 10:12 
Не в сети
доцент
Зарегистрирован:
03 ноя 2013, 19:19
Сообщений: 3374
Cпасибо сказано: 577
Спасибо получено:
1000 раз в 861 сообщениях
Очков репутации: 153

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evaf писал(а):


Данный предел относиться к тем, которые нужно знать наизусть. И доказывать его каждый раз не нужно.


Не относится. И доказывать нужно. А тогда это выльется в нечто более громоздкое, чем предложил Yurik.
Ссылаться без доказательства можно только на те пределы, которые в виде теорем представлены в теоретических частях учебников (например, первый или второй замечательные пределы).

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 10:50 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
evaf
Я такие пределы не знаю, хотя первые два очевидны, в ВУЗе их не всем дают. Поэтому я и прошу доказать его, или хотя бы дать ссылку. Вы же этого не хотите делать. А может быть, просто не знаете? :D1

PS. Может, кто-нибудь удовлетворит моё любопытство?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 11:15 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 янв 2014, 15:52
Сообщений: 494
Откуда: Hogwarts
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
143 раз в 130 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Цитата:
хотя первые два очевидны

Yurik мне кажется, второй так же достоин внимания.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 11:21 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
dobby писал(а):
Yurik мне кажется, второй так же достоин внимания.

Да, конечно. Я ошибочно написал.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 15:03 
Не в сети
Верховный модератор
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
13 окт 2010, 13:09
Сообщений: 19963
Откуда: Пермь + Одесса
Cпасибо сказано: 11725
Спасибо получено:
5319 раз в 4796 сообщениях
Очков репутации: 708

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yurik писал(а):
Может, кто-нибудь удовлетворит моё любопытство?
На тот, что с факториалом под корнем, я где-то натыкалась (тоже попалось такое в задаче и была нужда в обосновании), но сейчас точно не вспомню где именно.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 15:41 
Не в сети
Light & Truth
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
14 мар 2010, 14:56
Сообщений: 4584
Cпасибо сказано: 33
Спасибо получено:
2271 раз в 1754 сообщениях
Очков репутации: 580

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Yurik
Не тревожа великих, можно найти предел логарифмов
[math]\mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\ln \frac{n}{{\sqrt[n]{{n!}}}}= \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\left({\ln n - \frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n{\ln k}}\right) = - \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n{\ln \frac{k}{n}}= - \int\limits_0^1{\ln x\;dx}= 1[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали:
erjoma, mad_math, Yurik
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 16:28 
Не в сети
Light & Truth
Зарегистрирован:
21 авг 2011, 14:49
Сообщений: 5279
Cпасибо сказано: 315
Спасибо получено:
2299 раз в 1966 сообщениях
Очков репутации: 520

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop писал(а):
можно найти предел логарифмов

Спасибо, конечно, но для меня это слишком сложно. Всё понятно, но до этого я бы никогда не додумался.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 19:11 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 янв 2014, 15:52
Сообщений: 494
Откуда: Hogwarts
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
143 раз в 130 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Prokop нагло взяли и сорвали весь катарсис.)
Еще, одним из вариантов, является нахождение асимптотики для [math]\sqrt[n]{n!}[/math]:

Оценив интеграл методом прямоугольников, получаем
[math]\int\limits_{1}^{n}\ln{x}dx < \ln{1}+\ln{2}+...+\ln{n} < \int\limits_{2}^{n+1}\ln{x}dx[/math].

Как известно, [math]\int \ln{x}dx=x\ln{x}-x+C[/math].
Поэтому
[math]n^{n} e^{-n+1} < \sqrt[n]{n!} < (n+1)^{n+1}e^{-n+1} \!\!\not{\phantom{|}}\, 4[/math].

Так как [math](n+1)^{n+1}=n^{n+1}(1+\frac{ 1 }{ n } )^{n+1} \leqslant 4n^{n+1}[/math], то
[math]ne^{-\frac{ n-1 }{ n } } < \sqrt[n]{n!} < n^{\frac{ n+1 }{ n } }e^{-\frac{ n-1 }{ n } }\ \Longrightarrow \ \sqrt[n]{n!} \sim ne^{-\frac{ n-1 }{ n } },\ n \to \infty[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Исследование на сходимость числовых рядов№444
СообщениеДобавлено: 11 фев 2014, 21:06 
Не в сети
Профи
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
01 янв 2014, 15:52
Сообщений: 494
Откуда: Hogwarts
Cпасибо сказано: 35
Спасибо получено:
143 раз в 130 сообщениях
Очков репутации: 71

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Блин, опечатку допустил. После "Поэтому" должно быть тра-та-та < n! < тра-та -та.)

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу Пред.  1, 2, 3  След.  Страница 2 из 3 [ Сообщений: 21 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Сходимость числовых рядов

в форуме Ряды

Zyf2121

16

813

19 сен 2015, 21:53

Сумма числовых рядов

в форуме Ряды

351w

12

847

04 июн 2018, 06:43

Найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды

koallalo

1

544

09 янв 2015, 15:10

Суммирование расходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

Igor_yudin

2

269

02 фев 2018, 14:31

Теорема Римана для условно сходящихся числовых рядов

в форуме Ряды

westernru

1

760

13 май 2015, 17:43

Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

MrSviter

0

605

14 апр 2018, 23:46

Разложить функцию в ряд Фурье и найти суммы числовых рядов

в форуме Ряды Фурье и Интегральные преобразования

Valter017

0

696

24 апр 2018, 23:14

Исследование сходимости рядов

в форуме Ряды

351w

13

1066

29 май 2018, 06:11

Исследование сходимости рядов

в форуме Ряды

351w

6

1200

27 сен 2018, 11:32

Сходимость рядов

в форуме Ряды

annzzz

12

847

25 май 2015, 19:59


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 1


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved