Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказательство теоремы из книги
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=30480
Страница 1 из 1

Автор:  asduj [ 22 янв 2014, 10:35 ]
Заголовок сообщения:  Доказательство теоремы из книги

Не понимаю доказательство теоремы А. Кофман "Введение в теорию нечётких множеств" с. 33-34
ИзображениеИзображение
В частности между формулой 5.57 и 5.58 (куда делась в уравнении 5.58 [math](m_{j} \cdot n_{i})^2[/math], и 5.60 и 5.61 (как это так по-хитрому переписали). Ну, или подскажите названия этой теоремы

Автор:  grigoriew-grisha [ 23 янв 2014, 09:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы из книги

Чтобы понять эти преобразования, возьмите по два числа в каждом наборе и проделайте с ними "руками" все описанные преобразования, тогда станет понятен и общий случай.

Автор:  asduj [ 27 янв 2014, 00:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы из книги

grigoriew-grisha писал(а):
Чтобы понять эти преобразования, возьмите по два числа в каждом наборе и проделайте с ними "руками" все описанные преобразования, тогда станет понятен и общий случай.

Так я руками и делал. Видимо где-то допускаю ошибку, когда сам решаю. Не у кого спросить.
Я напишу свои рассуждения, а вы поправьте меня, пожалуйста, если я ошибаюсь. Итак, формула (5.57), разлагаем сумму квадратов:
[math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k}{(m_i \cdot n_j - m_j \cdot n_i)^2 \geqslant 0}[/math];
[math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k}{m_i^2 \cdot n_j^2 - \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} 2 \cdot m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j + \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_j^2 \cdot n_i^2 \geqslant 0}[/math].
Если я правильно понимаю, то пределы ряда [math]i \ne j[/math] обозначают следующее (возьмём для простоты [math]k=2[/math]):
[math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{2}m_i^2 \cdot n_j^2=m_1^2 \cdot n_2^2 + m_2^2 \cdot n_1^2[/math];
[math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{2}{m_j^2 \cdot n_i^2}=m_1^2 \cdot n_2^2 + m_2^2 \cdot n_1^2[/math].
Очевидно, что первое слагаемое равно последнему. Тогда можно переписать начальное выражение так:
[math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k}{m_i^2 \cdot n_j^2 - 2 \cdot \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j + \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_j^2 \cdot n_i^2=2 \cdot \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i^2 \cdot n_j^2 - 2 \cdot \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j \geqslant 0}[/math];
[math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k}m_i^2 \cdot n_j^2 - \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j \geqslant 0[/math].
А это не соответствует формуле (5.58).
Далее, прибавляем [math]\sum\limits_{i=1}^{k}{m_i^2 \cdot n_i^2}[/math]:
[math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i^2 \cdot n_j^2 + \sum\limits_{i=1}^{k}{m_i^2 \cdot n_i^2} \geqslant \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j + \sum\limits_{i=1}^{k}{m_i^2 \cdot n_i^2} (1)[/math].
Действительно, если расписать левую часть (для простоты примем [math]k=2[/math])
[math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i^2 \cdot n_j^2 + \sum\limits_{i=1}^{k}{m_i^2 \cdot n_i^2}=m_1^2 \cdot n_2^2 + m_2^2 \cdot n_1^2 + m_1^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2=m_1^2 \cdot n_1^2 + m_1^2 \cdot n_2^2 + m_2^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2=[/math]
[math]=\left(\sum\limits_{i=1}^{k}m_i^2 \right)\cdot \left(\sum\limits_{i=1}^{k}n_i^2 \right) (2)[/math],
то получаем левую часть уравнения (5.61).
Теперь проверяем правые части выражений (5.61) и (5.60) ([math]k=2[/math]):
[math]\sum\limits_{i=1}^{2}m_i^2 \cdot n_i^2 + 2 \cdot \sum\limits_{i,j=1; i \ne j}^{2}m_i \cdot n_i \cdot m_j \cdot n_j=m_1^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2 + 2 \cdot (m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2 + m_2 \cdot n_2 \cdot m_1 \cdot n_1) =[/math]
[math]=m_1^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2 + 4 \cdot m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2[/math];
[math]\left(\sum\limits_{i=1}^{2}m_i \cdot n_i \right)^2=\left( m_1 \cdot n_1 +m_2 \cdot n_2 \right)^2=m_1^2 \cdot n_1^2 +m_2^2 \cdot n_2^2 + 2 \cdot m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2=\sum\limits_{i=1}^{2}m_i^2 \cdot n_i^2 + \sum\limits_{i,j=1; i \ne j}^{2}m_i \cdot n_i \cdot m_j \cdot n_j (3)[/math].
Из двух последних выражений видно, что
[math]m_1^2 \cdot n_1^2 +m_2^2 \cdot n_2^2 + 2 \cdot m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2 \ne m_1^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2 + 4 \cdot m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2[/math].
Следовательно, в выражении (5.58) ошибка, и вместо [math]2 \cdot m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j[/math] должно быть [math]m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j[/math] [[math](1)[/math] соответствует [math](2)[/math] и [math](3)[/math]].

Есть ли в моих рассуждениях ошибка, или же все-таки ошибка в кнгие?

Автор:  grigoriew-grisha [ 27 янв 2014, 10:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказательство теоремы из книги

Вы правы - ошибка в книге.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/