| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Доказательство теоремы из книги http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=30480 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | asduj [ 22 янв 2014, 10:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Доказательство теоремы из книги |
Не понимаю доказательство теоремы А. Кофман "Введение в теорию нечётких множеств" с. 33-34 ![]() ![]() В частности между формулой 5.57 и 5.58 (куда делась в уравнении 5.58 [math](m_{j} \cdot n_{i})^2[/math], и 5.60 и 5.61 (как это так по-хитрому переписали). Ну, или подскажите названия этой теоремы |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 23 янв 2014, 09:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство теоремы из книги |
Чтобы понять эти преобразования, возьмите по два числа в каждом наборе и проделайте с ними "руками" все описанные преобразования, тогда станет понятен и общий случай. |
|
| Автор: | asduj [ 27 янв 2014, 00:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство теоремы из книги |
grigoriew-grisha писал(а): Чтобы понять эти преобразования, возьмите по два числа в каждом наборе и проделайте с ними "руками" все описанные преобразования, тогда станет понятен и общий случай. Так я руками и делал. Видимо где-то допускаю ошибку, когда сам решаю. Не у кого спросить. Я напишу свои рассуждения, а вы поправьте меня, пожалуйста, если я ошибаюсь. Итак, формула (5.57), разлагаем сумму квадратов: [math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k}{(m_i \cdot n_j - m_j \cdot n_i)^2 \geqslant 0}[/math]; [math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k}{m_i^2 \cdot n_j^2 - \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} 2 \cdot m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j + \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_j^2 \cdot n_i^2 \geqslant 0}[/math]. Если я правильно понимаю, то пределы ряда [math]i \ne j[/math] обозначают следующее (возьмём для простоты [math]k=2[/math]): [math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{2}m_i^2 \cdot n_j^2=m_1^2 \cdot n_2^2 + m_2^2 \cdot n_1^2[/math]; [math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{2}{m_j^2 \cdot n_i^2}=m_1^2 \cdot n_2^2 + m_2^2 \cdot n_1^2[/math]. Очевидно, что первое слагаемое равно последнему. Тогда можно переписать начальное выражение так: [math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k}{m_i^2 \cdot n_j^2 - 2 \cdot \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j + \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_j^2 \cdot n_i^2=2 \cdot \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i^2 \cdot n_j^2 - 2 \cdot \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j \geqslant 0}[/math]; [math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k}m_i^2 \cdot n_j^2 - \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j \geqslant 0[/math]. А это не соответствует формуле (5.58). Далее, прибавляем [math]\sum\limits_{i=1}^{k}{m_i^2 \cdot n_i^2}[/math]: [math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i^2 \cdot n_j^2 + \sum\limits_{i=1}^{k}{m_i^2 \cdot n_i^2} \geqslant \sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j + \sum\limits_{i=1}^{k}{m_i^2 \cdot n_i^2} (1)[/math]. Действительно, если расписать левую часть (для простоты примем [math]k=2[/math]) [math]\sum\limits_{i,j=1;i \ne j}^{k} m_i^2 \cdot n_j^2 + \sum\limits_{i=1}^{k}{m_i^2 \cdot n_i^2}=m_1^2 \cdot n_2^2 + m_2^2 \cdot n_1^2 + m_1^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2=m_1^2 \cdot n_1^2 + m_1^2 \cdot n_2^2 + m_2^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2=[/math] [math]=\left(\sum\limits_{i=1}^{k}m_i^2 \right)\cdot \left(\sum\limits_{i=1}^{k}n_i^2 \right) (2)[/math], то получаем левую часть уравнения (5.61). Теперь проверяем правые части выражений (5.61) и (5.60) ([math]k=2[/math]): [math]\sum\limits_{i=1}^{2}m_i^2 \cdot n_i^2 + 2 \cdot \sum\limits_{i,j=1; i \ne j}^{2}m_i \cdot n_i \cdot m_j \cdot n_j=m_1^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2 + 2 \cdot (m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2 + m_2 \cdot n_2 \cdot m_1 \cdot n_1) =[/math] [math]=m_1^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2 + 4 \cdot m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2[/math]; [math]\left(\sum\limits_{i=1}^{2}m_i \cdot n_i \right)^2=\left( m_1 \cdot n_1 +m_2 \cdot n_2 \right)^2=m_1^2 \cdot n_1^2 +m_2^2 \cdot n_2^2 + 2 \cdot m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2=\sum\limits_{i=1}^{2}m_i^2 \cdot n_i^2 + \sum\limits_{i,j=1; i \ne j}^{2}m_i \cdot n_i \cdot m_j \cdot n_j (3)[/math]. Из двух последних выражений видно, что [math]m_1^2 \cdot n_1^2 +m_2^2 \cdot n_2^2 + 2 \cdot m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2 \ne m_1^2 \cdot n_1^2 + m_2^2 \cdot n_2^2 + 4 \cdot m_1 \cdot n_1 \cdot m_2 \cdot n_2[/math]. Следовательно, в выражении (5.58) ошибка, и вместо [math]2 \cdot m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j[/math] должно быть [math]m_i \cdot m_j \cdot n_i \cdot n_j[/math] [[math](1)[/math] соответствует [math](2)[/math] и [math](3)[/math]]. Есть ли в моих рассуждениях ошибка, или же все-таки ошибка в кнгие? |
|
| Автор: | grigoriew-grisha [ 27 янв 2014, 10:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Доказательство теоремы из книги |
Вы правы - ошибка в книге. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|