Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=29831
Страница 1 из 1

Автор:  Pepel [ 03 янв 2014, 21:42 ]
Заголовок сообщения:  Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд

Пусть функцию f(x) можно разложить в степенной ряд при -R<x<R (R-радиус сходимости). Доказать, что если при этом f(x)-четная функция, то она разлагается по четным степеням, а если нечетная - по нечетным.
[math]\[\begin{gathered}f(x) \equiv f( - x) \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_{2n}}{x^{2n}},\left| x \right|} < R; \hfill \\ f(x) \equiv - f(x) \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_{2n + 1}}{x^{2n + 1}},\left| x \right|} < R; \hfill \\\end{gathered} \][/math]
На примере синуса и косинуса принцип понятен, но построить доказательство для общего случая не выходит. Help!

Автор:  dobby [ 03 янв 2014, 21:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд

Pepel а в разложении пробовали вместо x написать -x?

Автор:  Pepel [ 03 янв 2014, 22:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд

Интуитивно понятно, но как красиво все оформить?

Автор:  Prokop [ 03 янв 2014, 23:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд

В круге сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать.
Производная от чётной функции - .............. функция.
Производная от нечётной функции - .............. функция.

Можно, следуя совету dobby, рассмотреть сумму [math]f(x)+f(-x)[/math] для чётной функции и разность [math]f(x)- f(-x)[/math] для нечётной функции.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/