| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=29831 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Pepel [ 03 янв 2014, 21:42 ] |
| Заголовок сообщения: | Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд |
Пусть функцию f(x) можно разложить в степенной ряд при -R<x<R (R-радиус сходимости). Доказать, что если при этом f(x)-четная функция, то она разлагается по четным степеням, а если нечетная - по нечетным. [math]\[\begin{gathered}f(x) \equiv f( - x) \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_{2n}}{x^{2n}},\left| x \right|} < R; \hfill \\ f(x) \equiv - f(x) \Rightarrow f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{c_{2n + 1}}{x^{2n + 1}},\left| x \right|} < R; \hfill \\\end{gathered} \][/math] На примере синуса и косинуса принцип понятен, но построить доказательство для общего случая не выходит. Help! |
|
| Автор: | dobby [ 03 янв 2014, 21:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд |
Pepel а в разложении пробовали вместо x написать -x? |
|
| Автор: | Pepel [ 03 янв 2014, 22:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд |
Интуитивно понятно, но как красиво все оформить? |
|
| Автор: | Prokop [ 03 янв 2014, 23:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Разложимость четной/нечетной функции в степенной ряд |
В круге сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать. Производная от чётной функции - .............. функция. Производная от нечётной функции - .............. функция. Можно, следуя совету dobby, рассмотреть сумму [math]f(x)+f(-x)[/math] для чётной функции и разность [math]f(x)- f(-x)[/math] для нечётной функции. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|