| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=29804 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Samara321 [ 03 янв 2014, 07:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty} \frac{ (-1)^{n+1} \ln{n} }{ n }[/math] Проверяем сначало по призрнаку Лейбница 1)Проверяем на знакочередование [math]\ldots = \ln{1} - \frac{ \ln{2} }{ 2 } + \frac{\ln{3} }{ 3 } \ldots[/math] Ряд является знакочередующим. 2)[math]\lim_{n \to \infty } \left| a_{n} \right| =\frac{ \ln{n} }{ n } = \infty[/math] Получается члены ряда не убывают по модулю. Вывод : ряд расходится. Подскажите, я всё правильно сделал?) |
|
| Автор: | dobby [ 03 янв 2014, 07:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
Цитата: 1)Проверяем на знакочередование А что её проверять? И так ведь видно. Цитата: Получается члены ряда не убывают по модулю. Разве? [math]a_{n} =\frac{ \ln{n} }{ n } ,\ a_{n+1}-a_{n} =\frac{ \ln{(n+1)} }{ n+1 } -\frac{ \ln{n} }{ n } =\frac{ \ln{(1+\frac{ 1 }{ n } )^{n} } -\ln{n} }{ n(n+1) }\ \Rightarrow \ a_{n+1}<a_{n},\ n \geqslant 3 .[/math] |
|
| Автор: | Samara321 [ 03 янв 2014, 07:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
А , ну тогда ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем на абсолютную сходимость. [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left| a_{n} \right| = \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ \ln{n} }{ n }[/math] А тут по признаку сравнения, мы видим, что каждый член ряда больше соответствующего члена расходящегося гармонического ряда 1/n , и т.к. гармнонический ряд расходится, то и расходится данный ряд. (хотя можно еще по интегральному признаку Коши) Ряд сходится условно. Или не так надо? |
|
| Автор: | dobby [ 03 янв 2014, 07:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
Цитата: Или не так надо? Samara321 все верно. Только Цитата: А тут по признаку сравнения, мы видим, что каждый член ряда больше соответствующего члена расходящегося гармонического ряда 1/n начиная с [math]n=3.[/math] |
|
| Автор: | Samara321 [ 03 янв 2014, 08:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
Понял, благодарю) |
|
| Автор: | Samara321 [ 03 янв 2014, 08:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
Можно еще один тупой вопрос, а вот почему n [math]\geqslant[/math] именно 3 ? |
|
| Автор: | dobby [ 03 янв 2014, 08:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
Samara321 потому что [math]\ln{n}<1,\ n=1,2.[/math] |
|
| Автор: | dobby [ 03 янв 2014, 08:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
Кстати, Вы поняли из каких соображений монотонность вылезла? |
|
| Автор: | Samara321 [ 03 янв 2014, 08:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
Теперь всё понял) |
|
| Автор: | dobby [ 03 янв 2014, 08:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно |
Samara321 |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|