Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=29804
Страница 1 из 1

Автор:  Samara321 [ 03 янв 2014, 07:10 ]
Заголовок сообщения:  Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty} \frac{ (-1)^{n+1} \ln{n} }{ n }[/math]
Проверяем сначало по призрнаку Лейбница
1)Проверяем на знакочередование
[math]\ldots = \ln{1} - \frac{ \ln{2} }{ 2 } + \frac{\ln{3} }{ 3 } \ldots[/math]
Ряд является знакочередующим.
2)[math]\lim_{n \to \infty } \left| a_{n} \right| =\frac{ \ln{n} }{ n } = \infty[/math]
Получается члены ряда не убывают по модулю.
Вывод : ряд расходится.

Подскажите, я всё правильно сделал?)

Автор:  dobby [ 03 янв 2014, 07:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

Цитата:
1)Проверяем на знакочередование

А что её проверять? И так ведь видно.
Цитата:
Получается члены ряда не убывают по модулю.

Разве?
[math]a_{n} =\frac{ \ln{n} }{ n } ,\ a_{n+1}-a_{n} =\frac{ \ln{(n+1)} }{ n+1 } -\frac{ \ln{n} }{ n } =\frac{ \ln{(1+\frac{ 1 }{ n } )^{n} } -\ln{n} }{ n(n+1) }\ \Rightarrow \ a_{n+1}<a_{n},\ n \geqslant 3 .[/math]

Автор:  Samara321 [ 03 янв 2014, 07:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

А , ну тогда ряд сходится по признаку Лейбница.
Исследуем на абсолютную сходимость.
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty } \left| a_{n} \right| = \sum\limits_{n=1}^{ \infty } \frac{ \ln{n} }{ n }[/math]
А тут по признаку сравнения, мы видим, что каждый член ряда больше соответствующего члена расходящегося гармонического ряда 1/n , и т.к. гармнонический ряд расходится, то и расходится данный ряд. (хотя можно еще по интегральному признаку Коши)
Ряд сходится условно.

Или не так надо?

Автор:  dobby [ 03 янв 2014, 07:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

Цитата:
Или не так надо?

Samara321 все верно. Только
Цитата:
А тут по признаку сравнения, мы видим, что каждый член ряда больше соответствующего члена расходящегося гармонического ряда 1/n

начиная с [math]n=3.[/math]

Автор:  Samara321 [ 03 янв 2014, 08:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

Понял, благодарю)

Автор:  Samara321 [ 03 янв 2014, 08:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

Можно еще один тупой вопрос, а вот почему n [math]\geqslant[/math] именно 3 ?

Автор:  dobby [ 03 янв 2014, 08:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

Samara321 потому что [math]\ln{n}<1,\ n=1,2.[/math]

Автор:  dobby [ 03 янв 2014, 08:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

Кстати, Вы поняли из каких соображений монотонность вылезла?

Автор:  Samara321 [ 03 янв 2014, 08:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

Теперь всё понял)

Автор:  dobby [ 03 янв 2014, 08:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Выяснить, сходится ряд абсолютно или условно

Samara321
Цитата:
Теперь всё понял)

Samara321 рад за Вас :good: , если это действительно так!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/