Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Сходится или расходится ряд
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=29790
Страница 1 из 1

Автор:  Samara321 [ 02 янв 2014, 08:41 ]
Заголовок сообщения:  Сходится или расходится ряд

Помогите с примером, надо выяснить сходится или расходится ряд.Даже не знаю по какому признаку решать.

[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty} \frac{ 3 }{(2n-1)^{2} }[/math]

Автор:  Andy [ 02 янв 2014, 08:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходится или расходится ряд

Samara321
Например, так: замените общий член ряда непрерывной функцией [math]f(x)=\frac{3}{(2x-1)^2}[/math] и исследуйте на сходимость несобственный интеграл [math]\int\limits_{1}^{\infty} \frac{3dx}{(2x-1)^2}.[/math] Это интегральный признак Коши.

Автор:  dobby [ 02 янв 2014, 08:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходится или расходится ряд

Цитата:
Даже не знаю по какому признаку решать

Можно несколькими путями пойти. Один из них такой:
[math]...=3+\frac{ 1 }{ 3 } +\sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{ 3 }{ (2n-1)^{2} }<\frac{ 10 }{ 3 } +\sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{ 3 }{ n^{2} }<\frac{ 10 }{ 3 } +\sum\limits_{n=3}^{\infty } \frac{ 3 }{ n(n-1) }=\frac{ 10 }{ 3 } +3\sum\limits_{n=3}^{\infty } (\frac{ 1 }{ n-1 }-\frac{ 1 }{ n } )=\frac{ 10 }{ 3 } +3\lim_{n \to \infty } (\frac{ 1 }{ 2 } -\frac{ 1 }{ n } )=\frac{ 29 }{ 6 }.[/math]
Сумма [math]S_{n} =\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{ 3 }{ (2n-1)^{2} }[/math] монотонно возрастает и ограничена сверху. Таким образом, исходный ряд является сходящимся.

Автор:  Yurik [ 02 янв 2014, 09:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходится или расходится ряд

Что-то Вам очень сложные подсказки дают. Используйте предельный признак сравнения с обобщённым гармоническим: [math]\frac{1}{n^2}[/math].

Автор:  Samara321 [ 02 янв 2014, 09:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходится или расходится ряд

Да вот , вроде решил по интегральному признаку Коши, всем спасибо за подсказки)

Автор:  dobby [ 02 янв 2014, 10:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходится или расходится ряд

Yurik для этого еще нужно знать, как себя ведет обобщенный гармонический. :)

Автор:  Yurik [ 02 янв 2014, 10:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Сходится или расходится ряд

dobby писал(а):
Yurik для этого еще нужно знать, как себя ведет обобщенный гармонический.

Кажется, об этом узнают ещё при изучении признака сравнения. Это должно быть очевидным! :D1

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/