Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Признаки Коши и Лейбница (три задачи)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=29630
Страница 2 из 5

Автор:  mad_math [ 28 дек 2013, 00:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

ALEXIN писал(а):
[math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!}{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math]
Долго думали? Как вообще [math]\frac{2n+3}{3n+2}[/math] может равняться [math]\frac{2}{3}[/math]?

Не говоря уже о том, что [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)\ne (3n-1)![/math]

Автор:  ALEXIN [ 28 дек 2013, 01:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

mad_math писал(а):
ALEXIN писал(а):
[math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!}{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math]
Долго думали? Как вообще [math]\frac{2n+3}{3n+2}[/math] может равняться [math]\frac{2}{3}[/math]?

Не говоря уже о том, что [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)\ne (3n-1)![/math]


mad_math!

Пока не хватает сноровки!

[math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!!}{(3n-1)!!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}=\frac{(2+{\frac{3}{n}})}{(3+{\frac{2}{n}})}= \frac{2}{3}[/math]

[math]{2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)}= {(3n-1)!!}[/math]

Автор:  mad_math [ 28 дек 2013, 05:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Если не хватает сноровки, то незачем сразу браться за трудные примеры.
Дробь [math]\frac{2+\frac{3}{n}}{3+\frac{2}{n}}[/math] также не равна сама по себе [math]\frac{2}{3}[/math].
И прочитайте наконец определение факториала и двойного факториала. Не равно произведение [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... \cdot (3n-1)[/math] ни тому, ни другому.

Автор:  ALEXIN [ 30 дек 2013, 00:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

ALEXIN писал(а):
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] [math]=[/math][math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{(3n-1)!}[/math]

[math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)! }{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math]

Для любых n верно, что [math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}<{1}[/math]


Yurik!
Спасибо за помощь. :Rose:

3) По признаку Лейбница
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math]

Там, в принципе, всё правильно. За исключением записи: 2*5*8*… *(3n – 1) = (3n – 1)! — ОШИБКА, т.к. это не факториал, а «ЦЕПОЧКА» множителей, которую и надо так записывать (в знаменателе и числителе): 2*5*8*… *(3n – 1).

Смотрите рассуждения, Емелин А. пример № 6, как исследовать ряд с «цепочкой» множителей?
Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера.
Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера.
Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что
a(n) = 2*5*8*… *(3n – 1)
a(n+1) = 2*5*8*… *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8*…*(3n+ 2) — ОШИБКА!
a(n+1) = 2*5*8*…*(3n – 1) *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8* … *(3n – 1)*(3n+ 2) — ПРАВИЛЬНО!

Признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится. Или в два пункта:
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно.
Если выполнены оба условия, то ряд сходится.
Опять примеры Емелина А.
Для любопытства (чётность и нечётность):
10!! = 2*4*6*8*10 = 3840
9!! = 1*3*5*7*9 = 945

Автор:  Yurik [ 30 дек 2013, 09:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

ALEXIN писал(а):
1) Ряд является знакочередующимся.
2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно.
Если выполнены оба условия, то ряд сходится.

Во втором пункте Вы забыли указать очень важное условие [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0[/math].
И попробуйте в третьем ряде доказать это условие.

Автор:  ALEXIN [ 31 дек 2013, 02:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Yurik писал(а):
Во втором пункте Вы забыли указать очень важное условие [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0[/math].
И попробуйте в третьем ряде доказать это условие.


Yurik!

Вы наверно шутите? :)

Надо было исследовать на сходимость ряд
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math]

применяя признак Даламбера, исследовали ряд
[math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] , составленный из абсолютных величин членов данного ряда:

[math]\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty } \left|{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \right|=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2n+1)!!(2n+3)(3n-1)}{(3n-1)( 3n+2)(2n+1)!!}=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2n+3)}{(3n+2)}=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2+{\frac{3}{n}})}{(3+{\frac{2}{n}})}= \frac{2}{3}<{1}[/math]

Таким образом, ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] сходится. Отсюда следует, что данный ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math]

тоже сходится, и притом АБСОЛЮТНО.

Автор:  Yurik [ 31 дек 2013, 09:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

ALEXIN писал(а):
тоже сходится,

Не шучу. Вы же в самом начале написали: "3) признак Лейбница.", я Вам поэтому и написал, что затрудняюсь, ибо прежде всего, проверяю это условие.

Ps. Вообще-то при доказательстве сходимости ряда, всегда нужно проверить необходимый признак. :)

Автор:  mad_math [ 31 дек 2013, 14:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

ALEXIN писал(а):
a(n+1) = 2*5*8*… *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8*…*(3n+ 2) — ОШИБКА!
a(n+1) = 2*5*8*…*(3n – 1) *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8* … *(3n – 1)*(3n+ 2) — ПРАВИЛЬНО!
Это одно и то же.

Автор:  ALEXIN [ 01 янв 2014, 22:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Yurik писал(а):
Ps. Вообще-то при доказательстве сходимости ряда, всегда нужно проверить необходимый признак. :)


Yurik!

С Новым 2014 годом! :Rose:

Пойдёт ли такая интерпретация для необходимого условия? :unknown:

Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется НЕПОСРЕДСТВЕННО!

При [math]{0}<{a}<{1}[/math] показательная функция убывает, поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю :
[math]\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left|{{a_n }}\right| = \mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = {0}[/math]

Автор:  dobby [ 02 янв 2014, 08:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи)

Цитата:
поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю

ALEXIN и что Вам это дало?

Страница 2 из 5 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/