| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Признаки Коши и Лейбница (три задачи) http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=55&t=29630 |
Страница 2 из 5 |
| Автор: | mad_math [ 28 дек 2013, 00:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
ALEXIN писал(а): [math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!}{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math] Долго думали? Как вообще [math]\frac{2n+3}{3n+2}[/math] может равняться [math]\frac{2}{3}[/math]?Не говоря уже о том, что [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)\ne (3n-1)![/math] |
|
| Автор: | ALEXIN [ 28 дек 2013, 01:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
mad_math писал(а): ALEXIN писал(а): [math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!}{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math] Долго думали? Как вообще [math]\frac{2n+3}{3n+2}[/math] может равняться [math]\frac{2}{3}[/math]?Не говоря уже о том, что [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)\ne (3n-1)![/math] mad_math! Пока не хватает сноровки! [math]\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)!!}{(3n-1)!!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}=\frac{(2+{\frac{3}{n}})}{(3+{\frac{2}{n}})}= \frac{2}{3}[/math] [math]{2\cdot 5\cdot 8\cdot ... (3n-1)}= {(3n-1)!!}[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 28 дек 2013, 05:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
Если не хватает сноровки, то незачем сразу браться за трудные примеры. Дробь [math]\frac{2+\frac{3}{n}}{3+\frac{2}{n}}[/math] также не равна сама по себе [math]\frac{2}{3}[/math]. И прочитайте наконец определение факториала и двойного факториала. Не равно произведение [math]2\cdot 5\cdot 8\cdot ... \cdot (3n-1)[/math] ни тому, ни другому. |
|
| Автор: | ALEXIN [ 30 дек 2013, 00:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
ALEXIN писал(а): [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] [math]=[/math][math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{(3n-1)!}[/math] [math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{(2n+1)!!(2n+3) (3n-1)! }{(3n-1)!(3n+2)(2n+1)!!}=\frac{(2n+3)}{(3n+2)}= \frac{2}{3}[/math] Для любых n верно, что [math]\frac{ a_{n+1}}{a_{n}}<{1}[/math] Yurik! Спасибо за помощь. ![]() 3) По признаку Лейбница [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }[/math] [math]\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] Там, в принципе, всё правильно. За исключением записи: 2*5*8*… *(3n – 1) = (3n – 1)! — ОШИБКА, т.к. это не факториал, а «ЦЕПОЧКА» множителей, которую и надо так записывать (в знаменателе и числителе): 2*5*8*… *(3n – 1). Смотрите рассуждения, Емелин А. пример № 6, как исследовать ряд с «цепочкой» множителей? Вместе со степенями или (и) факториалами в начинке ряда часто встречаются многочлены, это не меняет дела – нужно использовать признак Даламбера. Кроме того, в общем члене ряда может встретиться одновременно и степень и факториал; может встретиться два факториала, две степени, важно чтобы там находилось хоть что-то из рассмотренных пунктов – и это как раз предпосылка для использования признака Даламбера. Вот здесь часто автоматом допускают ошибку, формально по алгоритму записывая, что a(n) = 2*5*8*… *(3n – 1) a(n+1) = 2*5*8*… *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8*…*(3n+ 2) — ОШИБКА! a(n+1) = 2*5*8*…*(3n – 1) *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8* … *(3n – 1)*(3n+ 2) — ПРАВИЛЬНО! Признак Лейбница: если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по модулю, то ряд сходится. Или в два пункта: 1) Ряд является знакочередующимся. 2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно. Если выполнены оба условия, то ряд сходится. Опять примеры Емелина А. Для любопытства (чётность и нечётность): 10!! = 2*4*6*8*10 = 3840 9!! = 1*3*5*7*9 = 945 |
|
| Автор: | Yurik [ 30 дек 2013, 09:52 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
ALEXIN писал(а): 1) Ряд является знакочередующимся. 2) Члены ряда убывают по модулю. Причём, убывают монотонно. Если выполнены оба условия, то ряд сходится. Во втором пункте Вы забыли указать очень важное условие [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0[/math]. И попробуйте в третьем ряде доказать это условие. |
|
| Автор: | ALEXIN [ 31 дек 2013, 02:19 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
Yurik писал(а): Во втором пункте Вы забыли указать очень важное условие [math]\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {{a_n}} \right| = 0[/math]. И попробуйте в третьем ряде доказать это условие. Yurik! Вы наверно шутите? Надо было исследовать на сходимость ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] применяя признак Даламбера, исследовали ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] , составленный из абсолютных величин членов данного ряда: [math]\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty } \left|{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}} \right|=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2n+1)!!(2n+3)(3n-1)}{(3n-1)( 3n+2)(2n+1)!!}=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2n+3)}{(3n+2)}=\mathop{\lim }\limits_{n \to \infty }\frac{(2+{\frac{3}{n}})}{(3+{\frac{2}{n}})}= \frac{2}{3}<{1}[/math] Таким образом, ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] сходится. Отсюда следует, что данный ряд [math]\sum\limits_{n=1}^{ \infty }\frac{ (-1)^{n-1}(2n+1)!! }{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot (3n-1)}[/math] тоже сходится, и притом АБСОЛЮТНО. |
|
| Автор: | Yurik [ 31 дек 2013, 09:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
ALEXIN писал(а): тоже сходится, Не шучу. Вы же в самом начале написали: "3) признак Лейбница.", я Вам поэтому и написал, что затрудняюсь, ибо прежде всего, проверяю это условие. Ps. Вообще-то при доказательстве сходимости ряда, всегда нужно проверить необходимый признак.
|
|
| Автор: | mad_math [ 31 дек 2013, 14:25 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
ALEXIN писал(а): a(n+1) = 2*5*8*… *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8*…*(3n+ 2) — ОШИБКА! Это одно и то же.
a(n+1) = 2*5*8*…*(3n – 1) *(3*(n+1) – 1) = 2*5*8* … *(3n – 1)*(3n+ 2) — ПРАВИЛЬНО! |
|
| Автор: | ALEXIN [ 01 янв 2014, 22:03 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
Yurik писал(а): Ps. Вообще-то при доказательстве сходимости ряда, всегда нужно проверить необходимый признак. ![]() Yurik! С Новым 2014 годом! Пойдёт ли такая интерпретация для необходимого условия? Если при нахождении предела получаем число в степени бесконечность, то для отличных от нуля и единицы значений такое выражение не является неопределенностью и вычисляется НЕПОСРЕДСТВЕННО! При [math]{0}<{a}<{1}[/math] показательная функция убывает, поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю : [math]\mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left|{{a_n }}\right| = \mathop{\lim}\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2}{3} \right)^{n} = {0}[/math] |
|
| Автор: | dobby [ 02 янв 2014, 08:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Признаки Коши и Лейбница (три задачи) |
Цитата: поэтому в этом случае ее значение на бесконечности стремится к нулю ALEXIN и что Вам это дало? |
|
| Страница 2 из 5 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|